Consider a physical system whose state and two observables A e B são expressos da seguinte forma:
|phi(t)rang<==(c 1 / 6 0 4 / 6 ), A=raiz22(ccc 2 & 0 & 0 0 & 1 & i 0 & -i & 1 ), B=(ccc 1 & 0 & 0 0 & 0 & -i 0 & i & 0 )
  • Which among the sets of operators, A,B, and A, B constitute a complete set of commuting operators?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema físico com um estado |phi(t)rang<= e dois operadores A e B representados por matrizes. A pergunta é: Quais conjuntos de operadores A, B e A, B formam um conjunto completo de operadores que comutam entre si?
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Comutatividade de operadores: Dois operadores A e B comutam se [A, B] = AB - BA = 0.
  • Conjunto completo de operadores comutantes: Um conjunto de operadores que todos comutam entre si e cuja base de autovetores é completa para descrever o sistema.
Vamos verificar, passo a passo, quais desses conjuntos atendem a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto A é um conjunto completo de operadores comutantes. Como ele contém apenas A, não há outro operador para comutar. Portanto, A é trivialmente um conjunto comutante e, sendo único, é um conjunto completo por si só.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto B. Assim como o caso anterior, esse conjunto contém apenas B, e não há outros operadores para testar a comutatividade. Logo, B também é um conjunto comutante e completo por si só.

Passo 4

O próximo passo é verificar o conjunto A, B. Para isso, precisamos calcular o comutador [A, B] = AB - BA.
Vamos calcular AB e BA:
AB = raiz22 2 & 0 & 0 0 & 1 & i 0 & -i & 1 1 & 0 & 0 0 & 0 & -i 0 & i & 0 = raiz22 2 times 1 + 0 + 0 & 2 times 0 + 0 + 0 & 2 times 0 + 0 + 0 0 times 1 + 1 times 0 + i times 0 & 0 times 0 + 1 times 0 + i times i & 0 times 0 + 1 times (-i) + i times 0 0 times 1 + (-i) times 0 + 1 times 0 & 0 times 0 + (-i) times 0 + 1 times i & 0 times 0 + (-i) times (-i) + 1 times 0
Simplificando:
AB = raiz22 2 & 0 & 0 0 & -1 & -i 0 & i & 1
Agora, calculamos BA:
BA = 1 & 0 & 0 0 & 0 & -i 0 & i & 0 raiz22 2 & 0 & 0 0 & 1 & i 0 & -i & 1 = raiz22 2 times 1 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 0 times 1 + 0 times 0 + (-i) times 0 & 0 times 0 + 0 times 1 + (-i) times (-i) & 0 times 0 + 0 times i + (-i) times 1 0 times 1 + i times 0 + 0 times 0 & i times 0 + i times 1 + 0 times (-i) & i times 0 + i times i + 0 times 1
Simplificando:
BA = raiz22 2 & 0 & 0 0 & 1 & -i 0 & i & -1

Passo 5

Agora, vamos calcular o comutador [A, B] = AB - BA:
[A, B] = raiz22 2 & 0 & 0 0 & -1 & -i 0 & i & 1 - raiz22 2 & 0 & 0 0 & 1 & -i 0 & i & -1 = raiz22 0 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & 2
Vemos que [A, B] neq 0, ou seja, A e B não comutam.

Resposta

Apenas os conjuntos A e B são conjuntos completos de operadores que comutam entre si. O conjunto A, B não constitui um conjunto completo de operadores comutantes.

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