Consider a particle which moves in a separable potential in the form U(r)=Ux(x)+ Uy(y)+Uz(z). The Hamiltonian of this system is written as H=Hx+Hy+Hz with Hj=Pj^2 /(2 m)+Uj(Rj)(j=x, y, z). Do the set Hx, Hy, Hz form a CSCO?

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula que se move num potencial que pode ser separado nas direções x, y e z, ou seja, $ U(\vec{r}) = U_x(x) + U_y(y) + U_z(z) $. A energia total (Hamiltoniano) desse sistema é dada por $ \hat{H} = \hat{H}_x + \hat{H}_y + \hat{H}_z $, onde cada $ \hat{H}_j $ (com $ j = x, y, z $) representa a energia em cada direção específica e é calculado por $ \hat{H}_j = \frac{\hat{P}_j^2}{2m} + U_j(\hat{R}_j) $. A pergunta é: o conjunto $ { \hat{H}_x, \hat{H}_y, \hat{H}_z } $ forma um CSCO (Conjunto Completo de Observáveis Comutantes)?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um CSCO e verificar se os operadores $ \hat{H}_x, \hat{H}_y, \hat{H}_z $ comutam entre si e se eles são suficientes para descrever completamente o estado da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um CSCO. Um Conjunto Completo de Observáveis Comutantes é um conjunto de operadores observáveis que:
  1. Comutam entre si: Ou seja, para qualquer par de operadores $ \hat{A} $ e $ \hat{B} $ no conjunto, temos $ [\hat{A}, \hat{B}] = 0 $.
  2. São completos: Significa que os autovalores desses operadores identificam univocamente o estado quântico da partícula.
Então, para verificar se $ { \hat{H}_x, \hat{H}_y, \hat{H}_z } $ é um CSCO, precisamos verificar esses dois pontos.

Passo 3

Vamos começar verificando se os operadores $ \hat{H}_x, \hat{H}_y, \hat{H}_z $ comutam entre si.
Sabemos que $ \hat{H}_x $ depende apenas de $ x $ e $ \hat{H}_y $ depende apenas de $ y $, e assim por diante. Em mecânica quântica, operadores que atuam em direções diferentes no espaço geralmente comutam porque eles operam em espaços de coordenadas distintas.
Matematicamente, isso significa que:
Hx, Hy, Hz
Esses comutadores sendo zero indicam que os operadores realmente comutam entre si.

Passo 4

Agora, vamos verificar a completude do conjunto $ { \hat{H}_x, \hat{H}_y, \hat{H}_z } $.
Como cada $ \hat{H}_j $ está associado a uma coordenada específica $ j $ (x, y, ou z), e cada um tem seus próprios autovalores, podemos usar esses valores para identificar univocamente o estado da partícula nas três direções. Ou seja, conhecer os valores de $ \hat{H}_x, \hat{H}_y, \hat{H}_z $ nos dá informação completa sobre a energia da partícula em cada direção espacial.
Isso significa que o conjunto de operadores não só comuta, mas também é suficiente para caracterizar completamente o estado da partícula. Portanto, é um conjunto completo.

Resposta

Sim, o conjunto $ { \hat{H}_x, \hat{H}_y, \hat{H}_z } $ forma um Conjunto Completo de Observáveis Comutantes (CSCO), pois os operadores comutam entre si e são suficientes para descrever completamente o estado da partícula.

Exercícios relacionados