Compute the value of
for
with
and
using the path:
straight-line segments
to
to
: In general we would have
straight-line segments
Passo 1
Beleza, o enunciado manda calcular a integral de linha
∫₍A₎⁽P⁾ G·dL, onde G = 2y aₓ, de A(1, −1, 2) até P(2, 1, 2), seguindo o caminho A→B→P com B(1, 1, 2).
Conteúdo: integral de linha de campo vetorial.
O que precisamos:
∫₍A₎⁽P⁾ G·dL, onde G = 2y aₓ, de A(1, −1, 2) até P(2, 1, 2), seguindo o caminho A→B→P com B(1, 1, 2).
Conteúdo: integral de linha de campo vetorial.
O que precisamos:
- Parametrizar cada trecho (ou usar dx, dy diretamente).
- Lembrar que ∫C G·dL = ∫ (Gₓ dx + Gᵧ dy + G_z dz).
- Somar as integrais dos dois segmentos.
Passo 2
Trecho 1: A(1, −1, 2) → B(1, 1, 2)
Aqui x=1 fixo, y varia de −1 a 1, z=2 fixo.
Então dx=0, dy≠0, dz=0.
O campo é G = (2y, 0, 0), logo
G·dL = Gₓ dx + Gᵧ dy + G_z dz = 2y·dx + 0 + 0 = 2y·0 = 0.
Portanto
∫₍A→B₎ G·dL = ∫ (0) = 0.
Aqui x=1 fixo, y varia de −1 a 1, z=2 fixo.
Então dx=0, dy≠0, dz=0.
O campo é G = (2y, 0, 0), logo
G·dL = Gₓ dx + Gᵧ dy + G_z dz = 2y·dx + 0 + 0 = 2y·0 = 0.
Portanto
∫₍A→B₎ G·dL = ∫ (0) = 0.
Passo 3
Trecho 2: B(1, 1, 2) → P(2, 1, 2)
Agora y=1 fixo, x varia de 1 a 2, z=2 fixo.
Então dy=0, dz=0, dx≠0.
G·dL = 2y dx = 2·1·dx = 2 dx.
Fazendo a integral de x=1 até x=2:
∫₍B→P₎ G·dL = ∫₁² 2 dx = 2[x]₁² = 2(2−1) = 2.
Agora y=1 fixo, x varia de 1 a 2, z=2 fixo.
Então dy=0, dz=0, dx≠0.
G·dL = 2y dx = 2·1·dx = 2 dx.
Fazendo a integral de x=1 até x=2:
∫₍B→P₎ G·dL = ∫₁² 2 dx = 2[x]₁² = 2(2−1) = 2.
Resposta
Somando os dois trechos: 0 + 2 = 2.