A certain current density is given in cylindrical coordinates as J=100 e^-2 z(rho arho+az) A / m^2. Find the total current passing through each of these surfaces:
closed cylinder defined by 0 <= z <= 1,0 <= rho <= 1, in an outward direction:

Passo 1

Beleza, o exercício dá uma densidade de corrente em coordenadas cilíndricas
J=100,e^-2zl(rho,arho+azr);A/m^2
e pede a corrente total passando pela superfície fechada de um cilindro (0≤ρ≤1, 0≤z≤1).
Conteúdo: cálculo de fluxo de densidade de corrente (ou integral de superfície)
O que a gente vai precisar:
1) A fórmula da corrente através de uma superfície:
I=integral duplaSJcdot dS
  1. Saber dividir o cilindro nas três partes (lateral, tampa e base), achar a normal de cada superfície e o elemento de área dS.

Passo 2

Surface lateral (ρ=1):
  • Normal para fora é arho.
  • dS=arho,( rho,dphi,dz) e aqui rho=1, então dS=dphi,dz.
  • Em ρ=1, o produto escalar:$$\mathbf{J}\cdot\mathbf{a}_\rho=100,e^{-2z},(1),. Jcdotarho =100,e^-2z,(1), I_{\rm lat}
=\int_{z=0}1\int_{\phi=0}{2\pi}100,e^{-2z},d\phi,dz
=100,(2\pi)\int_01e{-2z}dz
=200\pi\left[-\frac{e{-2z}}{2}\right]_01
=100\pi\bigl(1-e^{-2}\bigr),.$$

Passo 3

Tampa superior (z=1):
  • Normal para fora é az.
  • dS=az,( rho,drho,dphi).
  • Em z=1,$$\mathbf{J}\cdot\mathbf{a}_z=100,e{-2(1)}=100,e{-2},. Jcdotaz =100,e^-2(1)=100,e^-2, ãI_{\rm topo}
=\int_{\phi=0}{2\pi}\int_{\rho=0}1 100,e^{-2},\rho,d\rho,d\phi
=100,e{-2},(2\pi)\int_01\rho,d\rho
=100,e^{-2},(2\pi)\frac12
=100\pi,e^{-2},.$$

Passo 4

Base inferior (z=0):
  • Normal para fora do volume é para baixo, ou seja -az.
  • dS=-az,(rho,drho,dphi).
  • Em z=0, Jcdot(-az)=-100,e^0=-100.
    Logo
Irm base =integralphi=0^2piintegralrho=0^1(-100),rho,drho,dphi =-100,(2pi)12 =-100pi,

Passo 5

Agora somamos as três contribuições:
Irm total =Irm lat+Irm topo+Irm base =100pil(1-e^-2r)+100pi e^-2-100pi =0,

Resposta

A corrente total saindo pela superfície fechada do cilindro é 0;A.

Exercícios relacionados