A certain current density is given in cylindrical coordinates as
. Find the total current passing through each of these surfaces:
closed cylinder defined by
, in an outward direction:
closed cylinder defined by
Passo 1
Beleza, o exercício dá uma densidade de corrente em coordenadas cilíndricas
e pede a corrente total passando pela superfície fechada de um cilindro (0≤ρ≤1, 0≤z≤1).
Conteúdo: cálculo de fluxo de densidade de corrente (ou integral de superfície)
O que a gente vai precisar:
1) A fórmula da corrente através de uma superfície:
- Saber dividir o cilindro nas três partes (lateral, tampa e base), achar a normal de cada superfície e o elemento de área
.
Passo 2
Surface lateral (ρ=1):
- Normal para fora é
. -
e aqui , então . - Em ρ=1, o produto escalar:$$\mathbf{J}\cdot\mathbf{a}_\rho=100,e^{-2z},(1),.
I_{\rm lat}
=\int_{z=0}1\int_{\phi=0}{2\pi}100,e^{-2z},d\phi,dz
=100,(2\pi)\int_01e{-2z}dz
=200\pi\left[-\frac{e{-2z}}{2}\right]_01
=100,(2\pi)\int_01e{-2z}dz
=200\pi\left[-\frac{e{-2z}}{2}\right]_01
=100\pi\bigl(1-e^{-2}\bigr),.$$
Passo 3
Tampa superior (z=1):
- Normal para fora é
. -
. - Em z=1,$$\mathbf{J}\cdot\mathbf{a}_z=100,e{-2(1)}=100,e{-2},.
I_{\rm topo}
=\int_{\phi=0}{2\pi}\int_{\rho=0}1 100,e^{-2},\rho,d\rho,d\phi
=100,e{-2},(2\pi)\int_01\rho,d\rho
=100,e^{-2},(2\pi)\frac12
=100,e{-2},(2\pi)\int_01\rho,d\rho
=100,e^{-2},(2\pi)\frac12
=100\pi,e^{-2},.$$
Passo 4
Base inferior (z=0):
- Normal para fora do volume é para baixo, ou seja
. -
. - Em z=0,
.
Logo
Passo 5
Agora somamos as três contribuições:
Resposta
A corrente total saindo pela superfície fechada do cilindro é
.