The current density in a certain region is approximated by J=(0.1 / r) exp (-10^6 t) ar A / m^2 in spherical coordinates.
At t=1 mu s, how much current is crossing the surface r=5? At the given time,

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a densidade de corrente é
J=0.1r,exp(-10^6,t),ar[A/m^2]
em coordenadas esféricas. A gente quer saber quanta corrente I atravessa a superfície de uma esfera de raio r=5,m no instante t=1,mus.
Conteúdo: Eletromagnetismo – fluxo de densidade de corrente.
O que vamos usar:
1. A definição de corrente total que atravessa uma superfície S:
I=integral duplaSJcdot dS
  1. Em coordenadas esféricas, o elemento de área de uma esfera de raio r é dS=r^2sintheta,dtheta,dphi;ar

Passo 2

Primeiro, plugamos t=1,mus=1times10^-6,s e r=5,m em Jr:
Jr(r,t)=0.1r,exp(-10^6,t) longrightarrow Jrl(5,1times10^-6r)=0.15,exp(-10^6cdot10^-6) =;0.02,e^-1[A/m^2]

Passo 3

Como J é radial e dS também aponta em ar, o produto escalar simplifica para
Jcdot dS=Jr,r^2sintheta,dtheta,dphi

Passo 4

Agora a corrente é
$$I=\int_0{2\pi}!\int_0\pi J_r,r^2\sin\theta,d\theta,d\phi
=;r2,J_r;\Bigl[\int_0{2\pi}d\phi\Bigr];\Bigl[\int_0^\pi\sin\theta,d\theta\Bigr].$$

Passo 5

A gente já calculou Jr(5,1murm s)=0.02,e^-1 e r^2=5^2=25.
Além disso,
$$\int_0^{2\pi}d\phi=2\pi,\qquad
\int_0^\pi\sin\theta,d\theta=2. integral0^2pidphi=2pi, integral0^pisintheta,dtheta=2I=25;\bigl(0.02,e^{-1}\bigr);(2\pi);(2)
=25\cdot0.02\cdot4\pi;e^{-1}
=0.5\cdot4\pi;e^{-1}
=2\pi,e^{-1}.$$

Resposta

boxedI=2pieapprox2.31 A

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