1. O conceito de campo elétrico visa a descrever a força elétrica exercida por uma carga elétrica em pontos no espaço em torno dela. Dentro desse principio, utiliza-se o conceito de carga de prova, determinando-se a força exercida por uma carga fixa sobre a carga de prova por unidade de carga.
    Considere uma carga de +12 \eta \mathrm{C} posicionada na origem. Determine o vetor campo elétrico e a intensidade (módulo) do campo elétrico no ponto \mathrm{P}(3,-4,0) em coordenadas cartesianas. Utilize a constante eletrostática \mathrm{k}=9.10^{9} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Carga fixa localizada na origem: \;q=+12\eta\\ \mathrm{C}.
    Observação: o símbolo \eta não é o prefixo usual; vou interpretar \eta como o prefixo micro (\mu), isto é \eta=10^{-6}. Assim \;q=12\times10^{-6}\\ \mathrm{C}. Se \eta significar outra coisa, basta substituir o valor de q nos cálculos abaixo.
  • Ponto onde queremos o campo: \;P(3,-4,0) (presumo unidades em metros).
  • Constante eletrostática: \;k=9\cdot10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
O que se pede:
  • Determinar o vetor campo elétrico \mathbf{E} em P(3,-4,0).
  • Determinar a intensidade (módulo) |\mathbf{E}| nesse ponto.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas, no estilo “cola para prova”):
  • O campo elétrico criado por uma carga pontual q, medido em um ponto cuja posição relativa (vetor do ponto em relação à carga) é \mathbf{r}, é dado por
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = k\,q\,\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}
ou, escrevendo em termos do vetor posição,
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = k\,q\,\frac{\mathbf{r}}{r^{3}}.
Expliquei as notações:
  • \;k é a constante eletrostática ( 9\cdot10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}).
  • \;q é a carga fonte (aquela que cria o campo).
  • \;\mathbf{r} é o vetor que vai da carga até o ponto onde medimos o campo (em metros).
  • \;r é o comprimento de \mathbf{r}: r=\|\mathbf{r}\|.
  • \;\hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r é o versor (vetor unitário) na direção de \mathbf{r}.
Observação intuitiva: se q>0 o campo aponta para fora da carga (afastando-se dela); se q<0 aponta para a carga.

Passo 3

Calcular o vetor posição \mathbf{r} do ponto P em relação à carga na origem.
  • A carga está na origem (0,0,0). O ponto é P(3,-4,0). Então
\mathbf{r} = \langle 3,\,-4,\,0\rangle\\ \mathrm{m}.
Calcular o módulo r:
r = \sqrt{3^{2}+(-4)^{2}+0^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o versor \hat{\mathbf{r}} (direção do campo):
\hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}}{r}=\frac{\langle 3,-4,0\rangle}{5}=\Big\langle \frac{3}{5},-\frac{4}{5},0\Big\rangle.
Explicação curta: dividir cada componente de \mathbf{r} por r normaliza o vetor para comprimento 1.

Passo 5

Calcular o fator escalar k\,q/r^{2} que multiplica o versor:
Primeiro escrevemos q numericamente com a interpretação \eta=\mu=10^{-6}:
q = 12\times 10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Agora
kq = (9\cdot10^{9})\cdot(12\cdot10^{-6}) = 9\cdot12\cdot10^{9-6}=108\cdot10^{3}=1{,}08\cdot10^{5}.
Como r^{2}=5^{2}=25, temos
\frac{kq}{r^{2}}=\frac{1{,}08\cdot10^{5}}{25}=4{,}32\cdot10^{3}.
Unidade: \mathrm{N/C} (que é equivalente a \mathrm{N\cdot C^{-1}}).

Passo 6

Calcular o vetor campo \mathbf{E} multiplicando o fator escalar pelo versor:
\mathbf{E} = \frac{kq}{r^{2}}\;\hat{\mathbf{r}} = 4{,}32\cdot10^{3}\cdot \Big\langle \frac{3}{5},-\frac{4}{5},0\Big\rangle.
Fazendo as multiplicações:
E_{x}=4{,}32\cdot10^{3}\cdot\frac{3}{5}=4{,}32\cdot10^{3}\cdot0{,}6=2592,
E_{y}=4{,}32\cdot10^{3}\cdot\Big(-\frac{4}{5}\Big)=4{,}32\cdot10^{3}\cdot(-0{,}8)=-3456,
E_{z}=0.
Logo
\mathbf{E}(3,-4,0)=\langle 2592,\,-3456,\,0\rangle\\ \mathrm{N/C}.
Observação: checando por outra fórmula alternativa,
\mathbf{E}=kq\frac{\mathbf{r}}{r^{3}}=\frac{1{,}08\cdot10^{5}}{125}\langle 3,-4,0\rangle =864\langle 3,-4,0\rangle=\langle 2592,-3456,0\rangle,
mesma resposta — bom sinal.

Passo 7

Calcular a intensidade (módulo) |\mathbf{E}|.
  • Pela fórmula direta o módulo de \mathbf{E} para carga pontual é
|\mathbf{E}|=\frac{k|q|}{r^{2}}.
Já calculamos esse valor no Passo 5:
|\mathbf{E}|=4{,}32\cdot10^{3}\\ \mathrm{N/C}=4320\\ \mathrm{N/C}.
  • Verificação via componentes:
\sqrt{2592^{2}+(-3456)^{2}+0^{2}}= \sqrt{(2592)^{2}+(3456)^{2}} = 4320\\ \mathrm{N/C},
o que confirma.
Interpretação física rápida: como q>0, o campo aponta para fora da carga, ou seja, na direção do vetor \langle 3,-4,0\rangle (do centro para P).

Resposta

\mathbf{E}(3,-4,0)=\langle 2592,\,-3456,\,0\rangle\\ \mathrm{N/C}
|\mathbf{E}|=4320\\ \mathrm{N/C}

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