1. Na forma vetorial, a força elétrica descrita pela Lei de Coulomb tem a direção e sentido orientados pelo vetor unitário descrito pelo segmento de reta entre as duas cargas. Considere uma carga elétrica A , posicionada no espaço no ponto \mathrm{P}(3,2,1), em coordenadas cartesianas, e uma carga B posicionada no ponto \mathrm{Q}(0,-2,3). Se a carga A tem intensidade igual a -4 \mu \mathrm{C} e a carga B intensidade igual a -3 \mu C, qual o vetor força elétrica que a carga B exerce na carga A ? Utilize a constante eletrostática k=9.10^{9} N . \mathrm{m}^{2} / C^{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o vetor força elétrica que a carga B exerce na carga A.
Dados do enunciado:
\text{Posição da carga \(A\): } \; \mathrm{P}(3,2,1).çã
\text{Posição da carga \(B\): } \; \mathrm{Q}(0,-2,3).çã
\text{Intensidade da carga \(A\): } \; q_A = -4\ \mu\mathrm{C}.
\text{Intensidade da carga \(B\): } \; q_B = -3\ \mu\mathrm{C}.
\text{Constante eletrostática: } \; k = 9\cdot10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.á

Passo 2

Fórmula vetorial que vamos usar (Lei de Coulomb em forma vetorial): a força exercida sobre a carga 1 pela carga 2 é
\vec F_{1\leftarrow2}=k\,q_1 q_2\,\frac{\vec r_1-\vec r_2}{\lVert \vec r_1-\vec r_2\rVert^{3}}.
Explicando cada símbolo (bem devagarinho):
  • k é a constante eletrostática dada.
  • q_1 e q_2 são as cargas (em Coulomb).
  • \vec r_1 e \vec r_2 são os vetores posição das cargas 1 e 2 no espaço (aqui coordenadas cartesianas).
  • \vec r_1-\vec r_2 é o vetor que vai da carga 2 até a carga 1 (ou seja, aponta de 2 para 1).
  • \lVert \vec r_1-\vec r_2\rVert é o comprimento (módulo) desse vetor.
    Observação física importante: o produto q_1 q_2 define o sentido da força. Se for positivo (mesmo sinal nas cargas) a força é repulsiva e aponta no sentido de \vec r_1-\vec r_2; se for negativo (sinais opostos) a força é atrativa e aponta no sentido oposto.
Aqui queremos a força que B exerce em A, então usamos q_1=q_A, q_2=q_B, \vec r_1=\vec r_A e \vec r_2=\vec r_B.

Passo 3

Calcular o vetor diferença de posições \vec r_A-\vec r_B. Usando as coordenadas dadas:
\vec r_A-\vec r_B = (3-0,\;2-(-2),\;1-3) = (3,\;4,\;-2).
Explicação: cada componente é a subtração componente a componente; por exemplo na segunda componente 2-(-2)=4.

Passo 4

Calcular a distância entre as cargas (o módulo do vetor acima):
\lVert \vec r_A-\vec r_B\rVert = \sqrt{3^{2}+4^{2}+(-2)^{2}} = \sqrt{9+16+4} = \sqrt{29}.
Então o cubo do módulo (que aparece no denominador da fórmula vetorial) é
\lVert \vec r_A-\vec r_B\rVert^{3} = (\sqrt{29})^{3} = 29\sqrt{29}.

Passo 5

Converter as cargas de microcoulomb para coulomb e calcular o produto q_A q_B:
q_A = -4\\ \mu\mathrm{C} = -4\times10^{-6}\\ \mathrm{C},
q_B = -3\\ \mu\mathrm{C} = -3\times10^{-6}\\ \mathrm{C},
q_A q_B = (-4\times10^{-6})(-3\times10^{-6}) = 12\times10^{-12} = 1,2\times10^{-11}\\ \mathrm{C^{2}}.
Observação física: o produto é positivo (ambas negativas), então a força é repulsiva e aponta no sentido de \vec r_A-\vec r_B (ou seja, do ponto B para A).

Passo 6

Calcular o fator escalar k\,q_A q_B:
k\,q_A q_B = 9\times10^{9}\cdot 1,2\times10^{-11} = 0,108.
Então a expressão vetorial exata fica
\vec F_{A\leftarrow B} = \frac{0,108}{29\sqrt{29}}\,(3,\;4,\;-2)\\ \mathrm{N}.
Aqui deixei a forma exata em radicais para clareza; agora vamos obter a aproximação numérica para cada componente.

Passo 7

Calcular numericamente o fator escalar:
29\sqrt{29}\approx 29\cdot 5,3851648 \approx 156,16979,
\frac{0,108}{29\sqrt{29}}\approx \frac{0,108}{156,16979}\approx 6,918\times10^{-4}.
Multiplicando pelo vetor componente a componente:
F_x \approx 3\cdot 6,918\times10^{-4} \approx 2,075\times10^{-3}\\ \mathrm{N},
F_y \approx 4\cdot 6,918\times10^{-4} \approx 2,767\times10^{-3}\\ \mathrm{N},
F_z \approx -2\cdot 6,918\times10^{-4} \approx -1,384\times10^{-3}\\ \mathrm{N}.
Arredondando com três algarismos significativos:
\vec F_{A\leftarrow B}\approx (2,08\times10^{-3},\;2,77\times10^{-3},\;-1,38\times10^{-3})\\ \mathrm{N}.

Resposta

\vec F_{A\leftarrow B}=\frac{0,108}{29\sqrt{29}}\,(3,\;4,\;-2)\\ \mathrm{N}
\vec F_{A\leftarrow B}\approx(2,08\times10^{-3},\;2,77\times10^{-3},\;-1,38\times10^{-3})\ \mathrm{N}

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