O conceito de Centro de Massa (CM) é fundamental para descrever o movimento de um sistema. Em um sistema de partículas, qual é o papel do CM sob a ação apenas de forças internas?
  • (A) O CM acelera de acordo com a soma das forças internas.
  • (B) O CM permanece em repouso ou em movimento retilíneo uniforme.
  • (C) O CM descreve uma trajetória parabólica obrigatoriamente.
  • (D) O CM sempre coincide com a posição da partícula mais pesada.

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o papel do centro de massa (CM) de um sistema de partículas quando atuam apenas forças internas. As alternativas dadas são:
  • (A) O CM acelera de acordo com a soma das forças internas.
  • (B) O CM permanece em repouso ou em movimento retilíneo uniforme.
  • (C) O CM descreve uma trajetória parabólica obrigatoriamente.
  • (D) O CM sempre coincide com a posição da partícula mais pesada.
Informação relevante fornecida: há apenas forças internas atuando no sistema (ou seja, não há forças externas).

Passo 2

Definição matemática do centro de massa para um sistema de partículas discretas. Se as partículas têm massas m_i e posições \mathbf{r}_i, define-se a posição do CM por
\mathbf{R}=\frac{1}{M}\sum_i m_i\mathbf{r}_i,
onde
M=\sum_i m_i
é a massa total do sistema. Aqui \mathbf{R} é um vetor posição do centro de massa e \mathbf{r}_i são os vetores posição das partículas.

Passo 3

Relação entre o momento linear total do sistema e o CM. A velocidade do CM é \mathbf{V}=\dot{\mathbf{R}}. O momento linear total do sistema é
\mathbf{P}=\sum_i m_i\mathbf{v}_i,
onde \mathbf{v}_i=\dot{\mathbf{r}}_i. Diferenciando \mathbf{R} obtemos
\mathbf{P}=M\mathbf{V}.
Isso mostra que estudar a velocidade/ aceleração do CM é equivalente a estudar o momento linear total do sistema.

Passo 4

Equações de movimento individuais (segunda lei de Newton) para cada partícula. Para a partícula i,
m_i\mathbf{a}_i=\mathbf{F}_i^{\text{ext}}+\sum_{j\ne i}\mathbf{F}_{ij},
onde \mathbf{F}_i^{\text{ext}} é a força externa sobre i e \mathbf{F}_{ij} é a força de j sobre i (força interna).
Pelo enunciado temos “apenas forças internas”, logo \mathbf{F}_i^{\text{ext}}=\mathbf{0} para todo i. Assim
m_i\mathbf{a}_i=\sum_{j\ne i}\mathbf{F}_{ij}.

Passo 5

Somando a equação anterior sobre todas as partículas:
\sum_i m_i\mathbf{a}_i=\sum_i\sum_{j\ne i}\mathbf{F}_{ij}.
O lado esquerdo é a derivada do momento linear total:
\sum_i m_i\mathbf{a}_i=\frac{d}{dt}\sum_i m_i\mathbf{v}_i=\frac{d\mathbf{P}}{dt}.

Passo 6

Uso da terceira lei de Newton para as forças internas. Para pares de partículas i e j vale
\mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}.
Portanto, ao somar todas as \mathbf{F}_{ij} em todos os índices i e j, cada par cancela e o duplo somatório dá zero:
\sum_i\sum_{j\ne i}\mathbf{F}_{ij}=\mathbf{0}.
Assim
\frac{d\mathbf{P}}{dt}=\mathbf{0}.

Passo 7

Conclusão sobre o movimento do CM. Como \dfrac{d\mathbf{P}}{dt}=\mathbf{0}, o momento linear total \mathbf{P} é constante. Logo a velocidade do CM \mathbf{V}=\mathbf{P}/M é constante. Isso significa que o CM se move com velocidade constante (movimento retilíneo uniforme) ou permanece em repouso se a velocidade constante for nula. Não há aceleração do CM quando somente forças internas atuam.

Passo 8

Explicação por que as outras alternativas estão erradas:
  • (A) Incorreta: forças internas não mudam o momento linear total porque se anulam em pares; portanto não produzem aceleração do CM.
  • (C) Incorreta: trajetória parabólica exige uma aceleração constante (por exemplo, devido a uma força externa constante como gravidade). Sem forças externas não há aceleração; logo não há obrigação de trajetória parabólica.
  • (D) Incorreta: o CM é uma média ponderada das posições por massas, \mathbf{R}=(1/M)\sum_i m_i\mathbf{r}_i. Ele só coincide com a partícula mais pesada em casos especiais (por exemplo, quando todas as outras massas estão colocadas exatamente na mesma posição que a mais pesada). Em geral o CM fica entre (ou fora) as partículas conforme as posições e massas — por exemplo, com m_1=9, m_2=1, \mathbf{r}_1=0, \mathbf{r}_2=10 temos
\mathbf{R}=\frac{9\cdot 0 + 1\cdot 10}{9+1}=1,
ou seja, o CM está em 1, não na posição 0 da partícula mais pesada.

Passo 9

Resumo prático que você pode usar na prova: se não há forças externas, a quantidade \mathbf{P}=\sum_i m_i\mathbf{v}_i é conservada; portanto a velocidade do CM é constante e o CM não acelera. Mentalmente: forças internas puxam e empurram dentro do sistema, mas não empurram o sistema como um todo.

Resposta

(B)

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