Qual o conceito fisico de centroide e compare-o com o conceito de centro de gravidade. ( 4,0 pontos)

Passo 1

Beleza, então a questão é: “Qual o conceito físico de centroide e compare-o com o conceito de centro de gravidade.” Isso cai na matéria de Mecânica (Resistência dos Materiais / Estática) e o que precisamos ter na cabeça é o que é ponto de aplicação de uma distribuição geométrica (centroide) e de uma distribuição de peso (centro de gravidade). Vamos usar conceitos de área, volume, integrais de momento e entender como a gravidade entra nisso.

Passo 2

Primeiro, o que é o centroide? Imagine uma lâmina plana (ou uma área qualquer). O centroide é o “ponto médio geométrico” dessa área, ou seja, onde você pode “colocar” toda a área concentrada num único ponto sem alterar o momento de inércia em relação a eixos.
Teoria: o momento estático de uma área xc ;=;1A,integralA x,dA em relação ao eixo yc ;=;1A,integralA y,dA é . Então a coordenada do centroide é
e, similarmente,
Isso é só uma média ponderada das posições usando como peso.

Passo 3

Agora, centro de gravidade é quase a mesma ideia, só que em vez de distribuir área ou volume, você distribui peso (força peso). Cada pedacinho de massa xg ;=;1W,integral x,dW ;=;1integral dW,integral x,g,dm ;=;1m,g,gintegral x,dm ;=;1m,integral x,dm, tem peso . O momento de peso em relação a um eixo é . Logo a coordenada do centro de gravidade é
já que . E o mesmo vale pra .

Passo 4

Comparação:
  • Ambos são médias ponderadas de posições, mas o peso do elemento é (geométrico) no centroide e (força peso) no centro de gravidade.
  • Se a gravidade for uniforme e a densidade do corpo também, a distribuição de massa segue a distribuição geométrica (área ou volume), então centroide = centro de gravidade.
  • Se a gravidade variar no espaço (altura grande, campos não-uniformes) ou a densidade mudar, aí eles diferem: o centro de gravidade “puxa” mais para onde o peso é maior.

Resposta

O centroide é o ponto de aplicação equivalente de toda a área (ou volume), calculado pelas médias , . Já o centro de gravidade é o ponto onde se aplica toda a força peso, obtido por , . Em gravidade e densidade uniformes eles coincidem; se gravidade ou densidade variarem, eles ficam em lugares diferentes.

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