Allow the motion in the preceding problem to take place in a resisting medium. After oscillating for 10 s, the maximum amplitude decreases to half the initial value. Calculate the damping parameter
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um movimento oscilatório num meio que “resiste” (ou seja, há amortecimento). Depois de 10 s, a amplitude máxima cai para metade do valor inicial. A matéria aqui é oscilador harmônico amortecido: a gente sabe que a amplitude vai decaindo exponencialmente com o tempo e queremos encontrar o parâmetro de amortecimento, que chamamos de
. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da envoltória da amplitude:
Passo 2
Explicando a teoria por trás: num oscilador amortecido, o movimento é algo como
mas o importante pra gente é que a amplitude efetiva em cada pico vale
Isso vem de resolver a equação diferencial com força de atrito proporcional à velocidade. O resultado é um decaimento exponencial multiplicando a oscilação.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: depois de
s, a amplitude é metade da inicial. Ou seja,
Passo 4
Agora basta isolar
. Tomando logaritmo natural dos dois lados:
Lembrando que
, fica
Passo 5
Só simplificar numericamente:
Resposta
O parâmetro de amortecimento é
$