Allow the motion in the preceding problem to take place in a resisting medium. After oscillating for 10 s, the maximum amplitude decreases to half the initial value. Calculate the damping parameter beta.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um movimento oscilatório num meio que “resiste” (ou seja, há amortecimento). Depois de 10 s, a amplitude máxima cai para metade do valor inicial. A matéria aqui é oscilador harmônico amortecido: a gente sabe que a amplitude vai decaindo exponencialmente com o tempo e queremos encontrar o parâmetro de amortecimento, que chamamos de beta. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da envoltória da amplitude:
A(t)=A0,e^-beta t

Passo 2

Explicando a teoria por trás: num oscilador amortecido, o movimento é algo como
x(t)=A0,e^-beta tcos(omega' t+phi),
mas o importante pra gente é que a amplitude efetiva em cada pico vale
A(t)=A0,e^-beta t
Isso vem de resolver a equação diferencial com força de atrito proporcional à velocidade. O resultado é um decaimento exponencial multiplicando a oscilação.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: depois de t=10,s, a amplitude é metade da inicial. Ou seja,
A(10)A0= 12 = e^-betacdot10

Passo 4

Agora basta isolar beta. Tomando logaritmo natural dos dois lados:
ln!l(tfrac12r) = -betacdot10 Longrightarrow beta = -110ln!l(tfrac12r)
Lembrando que ln(1/2)=-ln2, fica
beta = ln210

Passo 5

Só simplificar numericamente:
beta = 0,693110approx0,0693 s^-1

Resposta

O parâmetro de amortecimento é
$

Exercícios relacionados