Um trilho de aço
de uma estrada de ferro foi estendido a uma temperatura de
. Determinar a tensão normal no trilho quando a temperatura atingir
, considerando que os trilhos: (b) são de comprimento igual a 12 m , com uma fenda de
entre eles.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre expansão térmica em trilhos de aço. O enunciado diz que um trilho de aço com módulo de elasticidade $ E = 200 , GPa $ e coeficiente de dilatação térmica $ \alpha = 11,7 \times 10^{-6} , /^\circC $ está inicialmente a
. Quando a temperatura sobe para
, precisamos descobrir qual é a tensão normal no trilho, considerando que os trilhos têm 12 metros de comprimento e há uma fenda de 6,35 mm entre eles. Para resolver isso, vamos usar conceitos de expansão térmica e tensão em materiais restritos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa expansão térmica. Quando um material como o aço é aquecido, ele tende a aumentar de comprimento. A quantidade que ele aumenta depende do coeficiente de dilatação térmica ($ \alpha
\Delta T
L $).
A fórmula para a variação de comprimento é:
onde:
- $ \Delta L $ é a variação de comprimento,
- $ \alpha $ é o coeficiente de dilatação térmica,
- $ L $ é o comprimento original,
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura.
Passo 3
Vamos calcular a variação de temperatura ($ \Delta T $):
Passo 4
Agora, vamos calcular a aumento de comprimento que o trilho tentaria ter devido ao aquecimento:
Primeiro, convertemos 12 metros para milímetros para facilitar os cálculos, já que a fenda está em milímetros:
Então:
Passo 5
A fenda entre os trilhos é de 6,35 mm, mas o aumento de comprimento que o trilho tenta ter é de aproximadamente 7,325 mm. Isso significa que o aumento de comprimento não pode ser totalmente acomodado pela fenda, e o trilho ficará restrito, gerando uma tensão.
A diferença que vai gerar a tensão é:
Essa diferença é o comprimento que o trilho não pode expandir, resultando na tensão.
Passo 6
Para encontrar a tensão normal ($ \sigma $), usamos a fórmula da tensão causada pela restrição na expansão:
onde:
- $ E $ é o módulo de elasticidade,
- $ \Delta L_{restrita} $ é a variação de comprimento restrita,
- $ L $ é o comprimento original.
Primeiro, precisamos converter todas as unidades para serem consistentes. Vamos usar metros:
E o módulo de elasticidade:
Agora, substituindo na fórmula:
Resposta
A tensão normal no trilho quando a temperatura atinge
é 16,25 MPa.