Um trilho de aço (E=200 GPa ; alpha=11,7 times 10^-6 / ^circ C) de uma estrada de ferro foi estendido a uma temperatura de -2^circ C. Determinar a tensão normal no trilho quando a temperatura atingir 50^circ C, considerando que os trilhos: (b) são de comprimento igual a 12 m , com uma fenda de 6,35 mm entre eles.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre expansão térmica em trilhos de aço. O enunciado diz que um trilho de aço com módulo de elasticidade $ E = 200 , GPa $ e coeficiente de dilatação térmica $ \alpha = 11,7 \times 10^{-6} , /^\circC $ está inicialmente a E = 200 , GPa . Quando a temperatura sobe para alpha = 11,7 times 10^-6 , /^circC , precisamos descobrir qual é a tensão normal no trilho, considerando que os trilhos têm 12 metros de comprimento e há uma fenda de 6,35 mm entre eles. Para resolver isso, vamos usar conceitos de expansão térmica e tensão em materiais restritos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa expansão térmica. Quando um material como o aço é aquecido, ele tende a aumentar de comprimento. A quantidade que ele aumenta depende do coeficiente de dilatação térmica ($ \alpha alpha ç \Delta T De L $).
A fórmula para a variação de comprimento é:
L
onde:
  • $ \Delta L $ é a variação de comprimento,
  • $ \alpha $ é o coeficiente de dilatação térmica,
  • $ L $ é o comprimento original,
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura.

Passo 3

Vamos calcular a variação de temperatura ($ \Delta T $):
De

Passo 4

Agora, vamos calcular a aumento de comprimento que o trilho tentaria ter devido ao aquecimento:
De
Primeiro, convertemos 12 metros para milímetros para facilitar os cálculos, já que a fenda está em milímetros:
12 , m = 12.000 , mm
Então:
De

Passo 5

A fenda entre os trilhos é de 6,35 mm, mas o aumento de comprimento que o trilho tenta ter é de aproximadamente 7,325 mm. Isso significa que o aumento de comprimento não pode ser totalmente acomodado pela fenda, e o trilho ficará restrito, gerando uma tensão.
A diferença que vai gerar a tensão é:
De
Essa diferença é o comprimento que o trilho não pode expandir, resultando na tensão.

Passo 6

Para encontrar a tensão normal ($ \sigma $), usamos a fórmula da tensão causada pela restrição na expansão:
sigma
onde:
  • $ E $ é o módulo de elasticidade,
  • $ \Delta L_{restrita} $ é a variação de comprimento restrita,
  • $ L $ é o comprimento original.
Primeiro, precisamos converter todas as unidades para serem consistentes. Vamos usar metros:
sigma = E cdot De
E o módulo de elasticidade:
E
Agora, substituindo na fórmula:
De

Resposta

A tensão normal no trilho quando a temperatura atinge 50^circC é 16,25 MPa.

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