Qual a concentração do ácido fórmico no equilíbrio?
\mathrm{HCOOH}_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \rightleftharpoons \mathrm{HCOO}_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{H_3O}_{(\mathrm{aq})}^{+}
k_{a}=1,8 \times 10^{-4}

Passo 1

O enunciado dá a reação e o valor da constante de dissociação ácida:
\mathrm{HCOOH}_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{H_{2}O} \rightleftharpoons \mathrm{HCOO^{-}}_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{H_{3}O^{+}}_{(\mathrm{aq})}
k_{a}=1,8\times 10^{-4}
A pergunta é: “Qual a concentração do ácido fórmico no equilíbrio?”
Observação importante: o enunciado não fornece a concentração inicial numérica do ácido fórmico. Então eu vou chamar essa concentração inicial de C_{0} (essa é uma incógnita que representa quanto de ácido você colocou antes do equilíbrio). A resposta será, portanto, a concentração de \mathrm{HCOOH} no equilíbrio expressa em função de C_{0}.

Passo 2

Vamos montar a tabela “ICE” (Initial, Change, Equilibrium) — isso organiza bem as concentrações e facilita montar a equação. Defino x como a quantidade (em mol/L) de \mathrm{HCOOH} que se dissociou no equilíbrio. Então:
Inicial:
[\mathrm{HCOOH}] = C_{0},\quad [\mathrm{HCOO^{-}}]=0,\quad [\mathrm{H_{3}O^{+}}]=0
Variação (quando avança para o equilíbrio):
[\mathrm{HCOOH}]\\ \text{cai em}\\\ -x,\quad [\mathrm{HCOO^{-}}]\\ \text{aumenta em}\\\ +x,\quad [\mathrm{H_{3}O^{+}}]\\ \text{aumenta em}\\\ +x
Equilíbrio:
[\mathrm{HCOOH}] = C_{0}-x,\quad [\mathrm{HCOO^{-}}]=x,\quad [\mathrm{H_{3}O^{+}}]=x
Aqui estou assumindo que não há outra fonte significativa de \mathrm{H_{3}O^{+}} diferente da dissociação do ácido (ou seja, a autoionização da água é desprezível frente à quantidade formada).

Passo 3

Agora escrevo a definição da constante de acidez k_a. Por definição:
k_{a}=\frac{[\mathrm{HCOO^{-}}]\,[\mathrm{H_{3}O^{+}}]}{[\mathrm{HCOOH}]}
Substituindo as concentrações de equilíbrio da tabela ICE:
k_{a}=\frac{x\cdot x}{C_{0}-x}=\frac{x^{2}}{C_{0}-x}
Esta é a equação que relaciona x com C_{0} e k_{a}. Nosso objetivo é encontrar [\mathrm{HCOOH}]_{eq}=C_{0}-x, então primeiro resolvemos para x.

Passo 4

Transformo a equação em uma equação polinomial (para resolver x):
k_{a}(C_{0}-x)=x^{2}
k_{a}C_{0}-k_{a}x=x^{2}
x^{2}+k_{a}x-k_{a}C_{0}=0
Isto é uma equação quadrática do tipo ax^{2}+bx+c=0 com a=1, b=k_{a}, c=-k_{a}C_{0}. Uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). O discriminante é:
\Delta = b^{2}-4ac = k_{a}^{2}-4\cdot 1\cdot(-k_{a}C_{0})=k_{a}^{2}+4k_{a}C_{0}.
As raízes são
x=\frac{-k_{a}\pm\sqrt{k_{a}^{2}+4k_{a}C_{0}}}{2}.
Como x é uma concentração (não pode ser negativa), escolhemos a raiz positiva:
x=\frac{-k_{a}+\sqrt{k_{a}^{2}+4k_{a}C_{0}}}{2}.

Passo 5

Agora obtenho a concentração do ácido fórmico no equilíbrio:
[\mathrm{HCOOH}]_{eq}=C_{0}-x
Substituindo x:
[\mathrm{HCOOH}]_{eq}=C_{0}-\frac{-k_{a}+\sqrt{k_{a}^{2}+4k_{a}C_{0}}}{2}.
Faço a simplificação algébrica para deixar mais elegante (coloco sobre o mesmo denominador):
[\mathrm{HCOOH}]_{eq}=\frac{2C_{0}+k_{a}-\sqrt{k_{a}^{2}+4k_{a}C_{0}}}{2}.
Esta é a expressão exata da concentração de \mathrm{HCOOH} no equilíbrio em função de C_{0} e k_{a}. Lembre-se que aqui k_{a}=1,8\times 10^{-4}.

Passo 6

Regra prática (muito útil na prova): se k_{a} for pequeno comparado a C_{0}, podemos usar a aproximação C_{0}-x\approx C_{0} no denominador da expressão de k_{a} e obter
x\approx\sqrt{k_{a}C_{0}}.
Então,
[\mathrm{HCOOH}]_{eq}\approx C_{0}-\sqrt{k_{a}C_{0}}.
Quando essa aproximação é válida? Uma verificação típica é checar se x/C_{0}<0{,}05 (ou seja, a mudança é menor que 5\%). Isso dá a condição
\sqrt{\frac{k_{a}}{C_{0}}}<0{,}05 \quad\Longrightarrow\quad C_{0}>\frac{k_{a}}{0{,}05^{2}}=\frac{k_{a}}{0{,}0025}.
Com k_{a}=1{,}8\times 10^{-4} isso dá
C_{0}> \frac{1{,}8\times 10^{-4}}{0{,}0025}=0{,}072\\ \text{mol·L}^{-1}.
Ou seja, se a concentração inicial C_{0} for maior que aproximadamente 0{,}072 M, a aproximação é geralmente segura e facilita muito os cálculos na prova.

Passo 7

Resumo rápido e incentivo: você tem a fórmula exata para [\mathrm{HCOOH}]_{eq} em função de C_{0} e de k_{a}. Na prova, se C_{0} for numérico e relativamente grande (maior que ~ 0{,}072 M para este k_{a}), use a aproximação x\approx\sqrt{k_{a}C_{0}} para economizar tempo; se C_{0} for pequeno ou se quiser precisão, use a fórmula exata que envolve a raiz quadrada (passo 5). Vai dar certo — respira, anota a tabela ICE e segue os passos!

Resposta

[\mathrm{HCOOH}]_{eq}=\frac{2C_{0}+k_{a}-\sqrt{k_{a}^{2}+4k_{a}C_{0}}}{2}

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