A concentração de um composto durante a fermentação é dada por C(t)=-t^2+6 t. Qual o tempo em que a concentração é máxima?

Passo 1

O enunciado dá a concentração C(t) = -t^2 + 6t em função do tempo t e pede o instante em que essa concentração atinge o valor máximo. O conteúdo aqui é otimização de função polinomial do 2º grau, que pode ser feita encontrando o vértice da parábola ou usando derivadas.

Passo 2

Vamos usar derivadas para achar o ponto crítico. Calculamos
C'(t) = ddtl(-t^2 + 6tr) = -2t + 6
Em seguida, igualamos a zero para encontrar t:
-2t + 6 = 0 Longrightarrow t = 3

Passo 3

Para garantir que t=3 seja um máximo, observamos a segunda derivada:
C''(t) = ddt(-2t + 6) = -2 < 0
Como C''(t)<0, o ponto crítico em t=3 é realmente um ponto de máximo.

Passo 4

Portanto, o tempo em que a concentração é máxima é
t = 3

Resposta

O tempo de concentração máxima é t = 3.

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