Verifique se as seguintes sequências são limitadas e monónotas.
an=2.4 6 ldots 2 n4^n(n+1)!

Passo 1

O enunciado define a sequência
an=2cdot4cdot6cdots2n4^n(n+1)!
e pede para verificar se ela é limitada e se é monótona. Vamos primeiro simplificar o termo geral e depois estudar as definições de “limitada” e “monótona” (usando a razão entre termos consecutivos).

Passo 2

Note que o produto dos pares até 2n satisfaz
2cdot4cdot6cdots2n ;=;2^n,n!
Substituindo em an, obtemos
an = 2^n,n!4^n,(n+1)! = 2^n4^n,n!(n+1)! = 12^n,1n+1 = 12^n,(n+1)

Passo 3

Para ver se é limitada, observamos que an>0 para todo n, logo há uma cota inferior 0.
O primeiro termo vale
a1 = 12^1,(1+1) = 14,
e como mostraremos que a sequência é decrescente, segue que
0 < an <= a1 = tfrac14
para todo n. Portanto, ela é limitada.

Passo 4

Para verificar monotonicidade, calculamos a razão
an+1an = 12^n+1(n+2) 12^n(n+1) = n+12,(n+2)
Como para todo n>=1 temos
n+12,(n+2) < 1,
concluímos que an+1<an. Logo, a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência an é limitada (por 0 e tfrac14) e monótona decrescente.

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