Verifique se as seguintes sequências são limitadas e monónotas.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para verificar se ela é limitada e se é monótona. Vamos primeiro simplificar o termo geral e depois estudar as definições de “limitada” e “monótona” (usando a razão entre termos consecutivos).
Passo 2
Note que o produto dos pares até
satisfaz
Substituindo em
, obtemos
Passo 3
Para ver se é limitada, observamos que
para todo
, logo há uma cota inferior
.
O primeiro termo vale
O primeiro termo vale
e como mostraremos que a sequência é decrescente, segue que
para todo
. Portanto, ela é limitada.
Passo 4
Para verificar monotonicidade, calculamos a razão
Como para todo
temos
concluímos que
. Logo, a sequência é estritamente decrescente.
Resposta
A sequência
é limitada (por
e
) e monótona decrescente.