Verifique se as seguintes sequências convergem ou divergem. Se convergir encontre o limite.
1n sen(n pi+3)+52^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
an = 1n,sinl(npi+3r) ;+;52^n
e, caso convirja, determinar seu limite. O conteúdo envolvido é cálculo de limites de sequências, uso de identidades trigonométricas e propriedades de limites (produto com 1/n e série geométrica).

Passo 2

Usamos a identidade
sinl(npi+3r) =sin(npi)cos(3)+cos(npi)sin(3) =0cdotcos(3)+(-1)^nsin(3) =(-1)^nsin(3)
Logo
an = (-1)^nsin(3)n + 52^n

Passo 3

Analisamos o comportamento dos dois termos separadamente:
  1. (-1)^nsin(3)n: como sin(3) é constante e |(-1)^n|=1, temos
|(-1)^nsin(3)n| =|sin(3)|n;xrightarrow[ntoinfty]0
  1. 52^n: é a general term de uma progressão geométrica de razão 1/2, logo
52^n;xrightarrow[ntoinfty]0

Passo 4

Pela soma de limites, se cada parcela tende a zero, então
an = (-1)^nsin(3)n + 52^n xrightarrow[ntoinfty]0 + 0 = 0

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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