A concentração intrínseca de portadores do germânio é dada pela seguinte expressão:
Onde:
-
- temperatura da substância em Kelvin.
-
- energia de bandgap da substância.
-
- constante de Boltzmann.
A partir destas informações, determine:
a) A concentração intrínseca do germânio em temperatura ambiente (
).
b) As concentrações de elétrons e de lacunas no germânio extrínseco em temperatura ambiente, quando este é dopado com impurezas doadoras (Família 5A) com concentração
.
a) A concentração intrínseca do germânio em temperatura ambiente (
b) As concentrações de elétrons e de lacunas no germânio extrínseco em temperatura ambiente, quando este é dopado com impurezas doadoras (Família 5A) com concentração
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que já temos):
-
Pedidos:
- (a) Calcular a concentração intrínseca do germânio à temperatura ambiente (
). - (b) Calcular as concentrações de elétrons e de lacunas no germânio dopado com doadores da família 5A com
, em temperatura ambiente.
- (a) Calcular a concentração intrínseca do germânio à temperatura ambiente (
-
Fórmula fornecida para a concentração intrínseca:
- Constantes e valores dados:
-
(temperatura): . -
(energia de gap do germânio). -
(constante de Boltzmann). - Densidade de dopantes doadores:
.
-
Observação: todas as quantidades numéricas que usaremos serão explicitadas e convertidas quando necessário (por exemplo, converter
de eV para J).
Passo 2
Preparação: converter temperatura para Kelvin e explicar escolha.
- Conversão de temperatura:
. Vou usar (aproximação comum em problemas de temperatura ambiente).
Passo 3
Converter
de
para
.
- Lembrete:
. - Portanto,
Explicação didática: precisamos
em joules porque a constante
está em
; as unidades no expoente devem ser adimensionais.
Passo 4
Calcular o expoente
que aparece em
.
- Primeiro calcule o denominador:
- Agora o quociente:
Didática: esse número no expoente indica o quão improvável é a geração térmica de pares elétron-lacuna; quanto maior, menor
.
Passo 5
Calcular a exponencial
.
- Usando o valor obtido:
Breve explicação: para calcular
manualmente, podemos separar
e multiplicar as aproximações; o importante é o valor numérico aproximado acima.
Passo 6
Calcular
(parte prefatorial da fórmula).
- Calcule
para :
Didática:
; isso aparece na densidade de estados efetiva que contribui para
.
Passo 7
Calcular a concentração intrínseca
substituindo todos os valores.
- Substituindo na fórmula:
- Fazer as contas em etapas:
- Primeiro
. - Multiplicando pela exponencial:
.
- Primeiro
- Resultado:
Comentário encorajador: esse valor está na casa de
, típico para germânio à temperatura ambiente.
Passo 8
Entendimento físico e aproximações para o caso extrínseco (dopado com doadores).
-
Quando dopamos com doadores em quantidade
, assumimos aqui: - Ionização completa dos doadores (à temperatura ambiente, doadores superficiais em germânio geralmente estão totalmente ionizados): cada doador fornece um elétron livre.
- Sem compensação por aceitadores (o enunciado não menciona aceitadores), logo a densidade de elétrons livres
será aproximadamente se . - Regime não degenerado (ou seja,
não é tão grande que torne o semicondutor degenerado). Para essa aproximação é razoável para cálculos básicos.
-
Logo, aproximamos:
Didática: essa é uma aproximação padrão em problemas de dopagem quando
domina sobre
.
Passo 9
Calcular
e
para o germânio dopado com
.
- Elétrons majoritários:
- Lacunas (minoritárias) pela lei da ação de massas:
- Substituindo valores:
-
. - Dividindo por
:
-
Explicação didática: a lei da ação de massas
vale em equilíbrio térmico; aqui usamos
conhecido para obter
.
Passo 10
Resumo final dos resultados (para conferir rapidamente).
- Intrínseco em
: . - Para
(dopagem doadora) em : -
(elétrons, majoritários). -
(lacunas, minoritárias).
-
Resposta
(a)
(b)