A concentração intrínseca de portadores do germânio é dada pela seguinte expressão:
n_{i}=1,66 \cdot 10^{15} \cdot T^{3 / 2} \cdot \mathrm{e}^{-E_{g} /(2 \cdot k \cdot T)} \mathrm{cm}^{-3}
Onde:
  • T - temperatura da substância em Kelvin.
  • E g=0,66 e V - energia de bandgap da substância.
  • k=1,38 \cdot 10^{-23} \mathrm{~J} / \mathrm{K} - constante de Boltzmann.
A partir destas informações, determine:
a) A concentração intrínseca do germânio em temperatura ambiente ( T \approx 27^{\circ} \mathrm{C} ).
b) As concentrações de elétrons e de lacunas no germânio extrínseco em temperatura ambiente, quando este é dopado com impurezas doadoras (Família 5A) com concentração N_{D}=5 \cdot 10^{16} \mathrm{~cm}^{-3}.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que já temos):
  • Pedidos:
    • (a) Calcular a concentração intrínseca do germânio à temperatura ambiente ( T \approx 27^\circ\mathrm{C}).
    • (b) Calcular as concentrações de elétrons e de lacunas no germânio dopado com doadores da família 5A com N_{D}=5\cdot10^{16}\,\mathrm{cm}^{-3}, em temperatura ambiente.
  • Fórmula fornecida para a concentração intrínseca:
n_{i}=1,66\cdot10^{15}\cdot T^{3/2}\cdot \mathrm{e}^{-E_{g}/(2\cdot k\cdot T)}\\ \mathrm{cm}^{-3}
  • Constantes e valores dados:
    • \,T (temperatura): T\approx27^\circ\mathrm{C}.
    • \,E_{g}=0,66\\ \mathrm{eV} (energia de gap do germânio).
    • \,k=1,38\cdot10^{-23}\\ \mathrm{J/K} (constante de Boltzmann).
    • Densidade de dopantes doadores: N_{D}=5\cdot10^{16}\\ \mathrm{cm}^{-3}.
Observação: todas as quantidades numéricas que usaremos serão explicitadas e convertidas quando necessário (por exemplo, converter E_{g} de eV para J).

Passo 2

Preparação: converter temperatura para Kelvin e explicar escolha.
  • Conversão de temperatura: \,T=27^\circ\mathrm{C}=27+273=300\\ \mathrm{K}. Vou usar T=300\\ \mathrm{K} (aproximação comum em problemas de temperatura ambiente).

Passo 3

Converter E_{g} de \mathrm{eV} para \mathrm{J}.
  • Lembrete: 1\\ \mathrm{eV}=1,602\cdot10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Portanto,
E_{g} = 0,66\\ \mathrm{eV} = 0,66\cdot(1,602\cdot10^{-19})\\ \mathrm{J} = 1,05732\cdot10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Explicação didática: precisamos E_{g} em joules porque a constante k está em \mathrm{J/K}; as unidades no expoente devem ser adimensionais.

Passo 4

Calcular o expoente \dfrac{E_{g}}{2kT} que aparece em \mathrm{e}^{-E_{g}/(2kT)}.
  • Primeiro calcule o denominador:
2\cdot k\cdot T = 2\cdot(1,38\cdot10^{-23})\cdot 300 = 8,28\cdot10^{-21}\\ \mathrm{J}.
  • Agora o quociente:
\frac{E_{g}}{2kT}=\frac{1,05732\cdot10^{-19}}{8,28\cdot10^{-21}} \approx 12,77.
Didática: esse número no expoente indica o quão improvável é a geração térmica de pares elétron-lacuna; quanto maior, menor n_i.

Passo 5

Calcular a exponencial \mathrm{e}^{-E_{g}/(2kT)}.
  • Usando o valor obtido:
\mathrm{e}^{-12,77}\approx 2,84\cdot10^{-6}.
Breve explicação: para calcular \mathrm{e}^{-12,77} manualmente, podemos separar \mathrm{e}^{-12}\cdot\mathrm{e}^{-0,77} e multiplicar as aproximações; o importante é o valor numérico aproximado acima.

Passo 6

Calcular T^{3/2} (parte prefatorial da fórmula).
  • Calcule T^{3/2} para T=300\\ \mathrm{K}:
T^{3/2} = 300^{3/2} = 300\cdot\sqrt{300} = 300\cdot17,3205\approx 5,19615\cdot10^{3}.
Didática: T^{3/2}=T\cdot T^{1/2}; isso aparece na densidade de estados efetiva que contribui para n_i.

Passo 7

Calcular a concentração intrínseca n_{i} substituindo todos os valores.
  • Substituindo na fórmula:
n_{i}=1,66\cdot10^{15}\cdot\bigl(5,19615\cdot10^{3}\bigr)\cdot\bigl(2,84\cdot10^{-6}\bigr)\\ \mathrm{cm}^{-3}.
  • Fazer as contas em etapas:
    • Primeiro 1,66\cdot10^{15}\cdot5,19615\cdot10^{3} = (1,66\cdot5,19615)\cdot10^{18} \approx 8,6286\cdot10^{18}.
    • Multiplicando pela exponencial: 8,6286\cdot10^{18}\cdot2,84\cdot10^{-6} \approx 2,45\cdot10^{13}.
  • Resultado:
n_{i}\approx 2,45\cdot10^{13}\\ \mathrm{cm}^{-3}.
Comentário encorajador: esse valor está na casa de 10^{13}\,\mathrm{cm}^{-3}, típico para germânio à temperatura ambiente.

Passo 8

Entendimento físico e aproximações para o caso extrínseco (dopado com doadores).
  • Quando dopamos com doadores em quantidade N_{D}, assumimos aqui:
    • Ionização completa dos doadores (à temperatura ambiente, doadores superficiais em germânio geralmente estão totalmente ionizados): cada doador fornece um elétron livre.
    • Sem compensação por aceitadores (o enunciado não menciona aceitadores), logo a densidade de elétrons livres n será aproximadamente N_{D} se N_{D}\gg n_{i}.
    • Regime não degenerado (ou seja, N_{D} não é tão grande que torne o semicondutor degenerado). Para N_{D}=5\cdot10^{16}\\ \mathrm{cm}^{-3} essa aproximação é razoável para cálculos básicos.
  • Logo, aproximamos:
n \approx N_{D}.
Didática: essa é uma aproximação padrão em problemas de dopagem quando N_{D} domina sobre n_i.

Passo 9

Calcular n e p para o germânio dopado com N_{D}=5\cdot10^{16}\\ \mathrm{cm}^{-3}.
  • Elétrons majoritários:
n \approx N_{D}=5\cdot10^{16}\\ \mathrm{cm}^{-3}.
  • Lacunas (minoritárias) pela lei da ação de massas:
p = \frac{n_{i}^{2}}{n}.
  • Substituindo valores:
    • n_{i}^{2} \approx (2,45\cdot10^{13})^{2} = 6,01\cdot10^{26}.
    • Dividindo por n=5\cdot10^{16}:
p \approx \frac{6,01\cdot10^{26}}{5\cdot10^{16}} \approx 1,20\cdot10^{10}\\ \mathrm{cm}^{-3}.
Explicação didática: a lei da ação de massas n\cdot p = n_{i}^{2} vale em equilíbrio térmico; aqui usamos n conhecido para obter p.

Passo 10

Resumo final dos resultados (para conferir rapidamente).
  • Intrínseco em T\approx300\\ \mathrm{K}: n_{i}\approx 2,45\cdot10^{13}\\ \mathrm{cm}^{-3}.
  • Para N_{D}=5\cdot10^{16}\\ \mathrm{cm}^{-3} (dopagem doadora) em T\approx300\\ \mathrm{K}:
    • n\approx 5\cdot10^{16}\\ \mathrm{cm}^{-3} (elétrons, majoritários).
    • p\approx 1,20\cdot10^{10}\\ \mathrm{cm}^{-3} (lacunas, minoritárias).

Resposta

(a) n_{i}\approx 2,45\cdot10^{13}\\ \mathrm{cm}^{-3}
(b) n\approx 5\cdot10^{16}\\ \mathrm{cm}^{-3},\quad p\approx 1,20\cdot10^{10}\\ \mathrm{cm}^{-3}

Exercícios relacionados