Considere 3 cargas pontuais q_{1}, q_{2} e q_{3}, localizadas nos pontos de coordenadas P_{1}(2,0,0), P_{2}(-2,0,0) e P_{3}(0,0,0) respectivamente. Determine a força eletrostática na carga q_{3}, devido a presença das cargas q_{1} e q_{2}, se:
a) q_{1}=q_{2}=q_{3}=1 \mu C

Passo 1

O enunciado pede a força eletrostática total sobre a carga q_{3}, localizada em P_{3}(0,0,0), devido às cargas q_{1} e q_{2} localizadas em P_{1}(2,0,0) e P_{2}(-2,0,0), quando q_{1}=q_{2}=q_{3}=1\\ \mu\text{C}.
Informações relevantes dadas:
q_{1}=q_{2}=q_{3}=1\\ \mu\text{C}=1\times10^{-6}\\ \text{C},
P_{1}=(2,0,0),\quad P_{2}=(-2,0,0),\quad P_{3}=(0,0,0).
Pergunta explícita: calcular \mathbf{F}_{\text{total}} sobre q_{3} devido a q_{1} e q_{2} (caso (a)).

Passo 2

Vamos usar a Lei de Coulomb na forma vetorial e o princípio da superposição.
A Lei de Coulomb, em forma vetorial, diz que a força exercida pela carga q_{i} sobre a carga q_{j} é
\mathbf{F}_{i\to j}=k\,\frac{q_{i}q_{j}}{|\mathbf{r}_{j}-\mathbf{r}_{i}|^{3}}(\mathbf{r}_{j}-\mathbf{r}_{i}),
onde:
  • k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} é a constante eletrostática ( k\approx 8{,}988\times10^{9}\\ \text{N}\,\text{m}^{2}\!/\text{C}^{2}),
  • \mathbf{r}_{i} e \mathbf{r}_{j} são os vetores posição das cargas q_{i} e q_{j},
  • |\mathbf{r}_{j}-\mathbf{r}_{i}| é a distância entre as cargas,
  • o vetor (\mathbf{r}_{j}-\mathbf{r}_{i}) define a direção da força (se q_{i}q_{j}>0, a força é repulsiva; se q_{i}q_{j}<0, é atrativa).
Princípio da superposição: a força total sobre q_{3} é a soma vetorial das forças individuais de q_{1} e q_{2}:
\mathbf{F}_{\text{total}}=\mathbf{F}_{1\to 3}+\mathbf{F}_{2\to 3}.

Passo 3

Escrevo os vetores posição:
\mathbf{r}_{1}=(2,0,0),\quad \mathbf{r}_{2}=(-2,0,0),\quad \mathbf{r}_{3}=(0,0,0).
Calculo os vetores deslocamento \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1} e \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{2}:
\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}=(0,0,0)-(2,0,0)=(-2,0,0),
\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{2}=(0,0,0)-(-2,0,0)=(2,0,0).
As distâncias são
|\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}|=2,\qquad |\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{2}|=2.

Passo 4

Calculo a força de q_{1} sobre q_{3} usando a fórmula:
\mathbf{F}_{1\to 3}=k\,\frac{q_{1}q_{3}}{|\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}|^{3}}(\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}).
Substituindo q_{1}=q_{3}=1\times10^{-6}\\ \text{C}, |\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}|=2 e \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}=(-2,0,0):
\mathbf{F}_{1\to 3}=k\,\frac{(1\times10^{-6})(1\times10^{-6})}{2^{3}}(-2,0,0).
Simplificando o fator escalar:
\frac{(1\times10^{-6})^{2}}{2^{3}}\cdot(-2,0,0)=\frac{1\times10^{-12}}{8}\cdot(-2,0,0)=\frac{1\times10^{-12}}{4}(-1,0,0).
Então a magnitude escalar é
F_{\text{cada}}=k\frac{1\times10^{-12}}{4}.
Avalio numericamente:
k(1\times10^{-12})=8{,}988\times10^{9}\times10^{-12}=8{,}988\times10^{-3},
F_{\text{cada}}=\frac{8{,}988\times10^{-3}}{4}=2{,}247\times10^{-3}\\ \text{N}.
A direção para \mathbf{F}_{1\to 3} é negativa em x, pois \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}=(-2,0,0). Logo
\mathbf{F}_{1\to 3}=(-2{,}247\times10^{-3},\,0,\,0)\\ \text{N}.

Passo 5

Calculo a força de q_{2} sobre q_{3}. Pela simetria (distância e cargas iguais), o módulo será o mesmo e a direção será positiva em x, pois \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{2}=(2,0,0). Assim
\mathbf{F}_{2\to 3}=(+2{,}247\times10^{-3},\,0,\,0)\\ \text{N}.

Passo 6

Agora somo vetorialmente:
\mathbf{F}_{\text{total}}=\mathbf{F}_{1\to 3}+\mathbf{F}_{2\to 3}=(-2{,}247\times10^{-3},0,0)+(2{,}247\times10^{-3},0,0)=(0,0,0)\\ \text{N}.
Interpretação física: as duas forças de mesma intensidade e sentidos opostos se cancelam por simetria, então a força resultante sobre q_{3} é nula.

Resposta

\mathbf{F}_{\text{total}}=(0,0,0)\\ \text{N}

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