A concentração intrínseca de portadores do germânio (Ge) é expressa como:
n_{i}=1,66 \times 10^{15} T^{3 / 2} \exp \frac{-E g}{2 k T} \mathrm{~cm}^{-3}
em que E g=0,66 \mathrm{eV}.
(a) Calcule n_{i} a 300 K e a 600 K e compare os resultados com os obtidos para o silício no Exemplo 2.1.
(b) Determine as concentrações de elétrons e de lacunas se Ge for dopado com P a uma densidade de 5 \times 10 \mathrm{~cm}^{-3}.

Passo 1

O enunciado dá a concentração intrínseca de portadores em germânio como
n_{i}=1,66\times10^{15}\,T^{3/2}\exp\!\Bigl(-\frac{E_{g}}{2kT}\Bigr)\quad\text{cm}^{-3},
com E_{g}=0{,}66 eV e k=8{,}617\times10^{-5} eV/K.
(a) Pede n_{i} em T=300 K e T=600 K e comparação com silício.
(b) Para germânio dopado n–tipo com fósforo a N_{D}=5\times10^{15},cm ^{-3}, determinar as concentrações de elétrons e lacunas.

Passo 2

Calcular n_{i} em T=300 K.
  1. T^{3/2}=300^{1.5}=300\sqrt{300}\approx5196.
  2. \displaystyle\frac{E_{g}}{2kT}=\frac{0{,}66}{2\cdot8{,}617\times10^{-5}\cdot300}\approx12{,}77.
  3. \exp(-12{,}77)\approx2{,}84\times10^{-6}.
  4. Logo
n_{i}(300)=1{,}66\times10^{15}\times5196\times2{,}84\times10^{-6} \approx2{,}45\times10^{13}\,\text{cm}^{-3}.

Passo 3

Calcular n_{i} em T=600 K.
  1. T^{3/2}=600^{1.5}=600\sqrt{600}\approx1{,}47\times10^{4}.
  2. \displaystyle\frac{E_{g}}{2kT}=\frac{0{,}66}{2\cdot8{,}617\times10^{-5}\cdot600}\approx6{,}38.
  3. \exp(-6{,}38)\approx1{,}70\times10^{-3}.
  4. Logo
n_{i}(600)=1{,}66\times10^{15}\times1{,}47\times10^{4}\times1{,}70\times10^{-3} \approx4{,}14\times10^{16}\,\text{cm}^{-3}.

Passo 4

Comparação com silício (Exemplo 2.1):
  • Em 300 K, n_{i}(\text{Si})\approx1{,}5\times10^{10},cm ^{-3}, logo
\frac{n_{i}(\text{Ge})}{n_{i}(\text{Si})}\Big|_{300\,\mathrm K}\approx\frac{2{,}45\times10^{13}}{1{,}5\times10^{10}}\approx1{,}6\times10^{3}.
  • Em 600 K, usando valores típicos para Si n_{i}(\text{Si},600)\sim1{,}5\times10^{15},cm ^{-3},
\frac{n_{i}(\text{Ge})}{n_{i}(\text{Si})}\Big|_{600\,\mathrm K}\approx\frac{4{,}14\times10^{16}}{1{,}5\times10^{15}}\approx2{,}8\times10^{1}.

Passo 5

Para Ge dopado n–tipo com N_{D}=5\times10^{15},cm ^{-3}, supondo ionização completa e regime de equilíbrio:
  1. A concentração de elétrons n\approx N_{D}=5\times10^{15},cm ^{-3}.
  2. Pela lei de ação de massas n\,p=n_{i}^{2}, temos
p=\frac{n_{i}^{2}}{n} =\frac{(2{,}45\times10^{13})^{2}}{5\times10^{15}} \approx1{,}20\times10^{11}\,\text{cm}^{-3}.

Resposta

n_{i}(300\,\mathrm K)\approx2{,}45\times10^{13},cm ^{-3}. n_{i}(600\,\mathrm K)\approx4{,}14\times10^{16},cm ^{-3}.
Em 300 K, n_{i}(\text{Ge}) é cerca de 1{,}6\times10^{3} vezes maior que n_{i}(\text{Si}); em 600 K, cerca de 2{,}8\times10^{1} vezes maior.
Para N_{D}=5\times10^{15},cm ^{-3}: n\approx5\times10^{15},cm ^{-3}, p\approx1{,}20\times10^{11},cm ^{-3}.

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