A decomposição de um composto segue a função Q(t)=Q_{0} e^{-k t}, onde Q_{0}=500 mg e k=0,2. Determine a taxa de variação da quantidade remanescente no tempo t=5.

Passo 1

O enunciado dá a função
Q(t)=Q_{0}e^{-k t}
com Q_{0}=500 mg e k=0,2, e pede a taxa de variação \frac{dQ}{dt} no instante t=5. Para resolver, vamos usar a derivada de uma exponencial e a regra da cadeia.

Passo 2

Começamos calculando a derivada geral. Como
Q(t)=Q_{0}e^{-k t},
temos
\frac{dQ}{dt} =Q_{0}\,\frac{d}{dt}\bigl(e^{-k t}\bigr) =Q_{0}\,e^{-k t}\cdot(-k) =-k\,Q_{0}\,e^{-k t}.

Passo 3

Substituindo Q_{0}=500 mg e k=0,2 nessa expressão,
\frac{dQ}{dt} =-0,2\cdot500\,e^{-0,2\,t} =-100\,e^{-0,2\,t}.

Passo 4

Avaliaremos em t=5:
\frac{dQ}{dt}\bigg|_{t=5} =-100\,e^{-0,2\cdot5} =-100\,e^{-1} =-\frac{100}{e}.
Numericamente, isso equivale a cerca de -36,8 mg por unidade de tempo.

Resposta

-\frac{100}{e} mg por unidade de tempo (aproximadamente -36,8 mg por unidade de tempo).

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