Qual é a concentração do metal livre, isto é, do metal não complexado, M, em 1 litro de uma solução do complexo MX de concentração 1,0 \times 10^{-2} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} ? O complexo MX tem uma constante de estabilidade igual a 4,0 \times 10^{8}.
\mathrm{R}=5,0 \times 10^{-6} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}

Passo 1

O enunciado pede a concentração do metal livre, isto é, a concentração de M em uma solução que contém o complexo MX com concentração inicial \(1,0\times 10^{-2}\ \mathrm{mol,L^{-1}}). Foi dada também a constante de estabilidade (constante de formação) do complexo: \(K_f = 4,0\times 10^{8}). Como dado de conferência/alternativa aparece \(R = 5,0\times 10^{-6}\ \mathrm{mol,L^{-1}}), mas vamos calcular e justificar esse resultado passo a passo.
Informações relevantes dadas:
  • \displaystyle [MX]_{\text{inicial}} = \(1,0\times 10^{-2}\ \mathrm{mol,L^{-1}}).
  • \displaystyle K_f = \(4,0\times 10^{8}).
  • Queremos [M] em equilíbrio (metal livre).

Passo 2

Vamos escrever a reação de dissociação do complexo e a definição da constante de formação.
Reação de equilíbrio (dissociação do complexo):
MX \rightleftharpoons M + X
A constante de formação é definida como
K_f = \frac{[MX]}{[M]\,[X]},
onde
  • [MX] é a concentração do complexo em equilíbrio,
  • [M] é a concentração do metal livre em equilíbrio (o que queremos),
  • [X] é a concentração do ligante livre em equilíbrio.
É útil trabalhar com a constante de dissociação \(K_d), que é o inverso de \(K_f):
K_d = \frac{1}{K_f} = \frac{[M]\,[X]}{[MX]}.
Usar K_d facilita montar a equação em termos das quantidades que se formam pela dissociação.

Passo 3

Montamos um quadro “ICE” (Initial, Change, Equilibrium) de concentrações — aqui a ideia é pensar que inicialmente só existe o complexo MX e que parte dele se dissocia.
Seja \(c_0) a concentração inicial de MX:
c_0 = \(1,0\times 10^{-2}\)\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Se uma fração \(x) do complexo se dissocia, então em equilíbrio teremos:
  • [MX] = c_0 - x,
  • [M] = x,
  • [X] = x.
Substituindo em \(K_d) temos:
K_d = \frac{x^2}{c_0 - x}.

Passo 4

Expressamos numericamente \(K_d) e montamos a equação para x.
Como \displaystyle K_f = \(4,0\times 10^{8}), então
K_d = \frac{1}{K_f} = \frac{1}{\(4,0\times 10^{8}\)} = \(2,5\times 10^{-9}\).
A equação do equilíbrio fica:
\frac{x^2}{c_0 - x} = K_d.
Multiplicando:
x^2 = K_d\,(c_0 - x).
Rearranjando em forma de equação quadrática:
x^2 + K_d\,x - K_d\,c_0 = 0.

Passo 5

Agora resolvemos para x. Como K_d é muito pequeno, é comum e válido fazer a aproximação c_0 - x \approx c_0 (isto é, x \ll c_0). Vou primeiro usar essa aproximação (que é a forma prática em prova) e depois checar sua validade.
Com a aproximação c_0 - x \approx c_0:
\frac{x^2}{c_0} \approx K_d \quad\Rightarrow\quad x \approx \sqrt{K_d\,c_0}.
Substituindo os valores:
x \approx \sqrt{\(\,2,5\times 10^{-9}\,\)\(\,1,0\times 10^{-2}\,\)} = \sqrt{\(2,5\times 10^{-11}\)}.
Calculemos a raiz:
\sqrt{\(2,5\times 10^{-11}\)} = \sqrt{\(25\times 10^{-12}\)} = 5,0\times 10^{-6}.
Portanto, pela aproximação,
[M] \approx x \approx \(5,0\times 10^{-6}\)\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 6

Verificamos agora se a aproximação x \ll c_0 é válida. Compare:
\frac{x}{c_0} = \frac{5,0\times 10^{-6}}{1,0\times 10^{-2}} = 5,0\times 10^{-4} = 0{,}0005,
ou seja, x é apenas 0{,}05\% de c_0. Isso é muito pequeno, então a aproximação foi absolutamente válida.
Para confirmar ainda mais, poderíamos usar a fórmula quadrática exata para a equação x^2 + K_d x - K_d c_0 = 0:
x = \frac{-K_d + \sqrt{K_d^2 + 4K_d c_0}}{2}.
Como K_d^2 é desprezível diante de 4K_d c_0, o termo sob a raiz é aproximadamente 4K_d c_0, levando novamente a x \approx \sqrt{K_d c_0} = 5,0\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}. Portanto o resultado é consistente.

Passo 7

Resumo didático rápido (para a prova): monte o ICE, escreva K_d = x^2/(c_0-x), veja que K_d é muito pequeno, use x \ll c_0 para simplificar a expressão para x \approx \sqrt{K_d c_0} e calcule. Sempre cheque a razão x/c_0 para confirmar a aproximação.

Resposta

5,0\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

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