0,10 \mathrm{~mol} de sulfato de cobre é adicionado a 1 L de amônia de concentração 2,0 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-}
{ }^{1}. Calcule a concentração do cobre na solução resultante. \left[\mathrm{Cu}^{2+}\right] \approx 1,4 \times 10^{-15} \mathrm{~mol} / \mathrm{L}
\mathrm{Cu}^{2+}+4 \mathrm{NH}_{3} \rightleftharpoons\left[\mathrm{Cu}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{4}\right]^{2+}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a concentração do cobre livre na solução resultante depois de adicionar sulfato de cobre a uma solução de amônia, sabendo que ocorre complexação segundo a reação
\mathrm{Cu}^{2+} + 4\,\mathrm{NH}_3 \rightleftharpoons [\mathrm{Cu}(\mathrm{NH}_3)_4]^{2+}.
Dados fornecidos:
\text{mols de sulfato de cobre adicionados} = 0,10\\ \mathrm{mol},
\text{volume da solução} = 1\\ \mathrm{L},çã
\text{concentração inicial de } \mathrm{NH}_3 = 2,0\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.çã
O que se pede: a concentração de \mathrm{Cu}^{2+} em equilíbrio na solução final, ou seja \left[\mathrm{Cu}^{2+}\right] em \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 2

Conceito importante (mini-aula rápida): o constante de formação (ou estabilidade) K_f para o complexo [\mathrm{Cu}(\mathrm{NH}_3)_4]^{2+} é definido pela expressão de equilíbrio
K_f=\frac{[\mathrm{Cu}(\mathrm{NH}_3)_4^{2+}]}{[\mathrm{Cu}^{2+}]\,[\mathrm{NH}_3]^4}.
Aqui cada concentração é em \mathrm{mol\,L^{-1}}. O K_f mede o quanto o complexo é favorecido: K_f grande significa que quase todo o \mathrm{Cu}^{2+} fica complexado. Para o complexo [\mathrm{Cu}(\mathrm{NH}_3)_4]^{2+} é comum usar o valor experimental
K_f \approx 1{,}1\times 10^{13}.
(Isto é um valor tabulado; usaremos esse K_f para calcular a concentração de \mathrm{Cu}^{2+}.)

Passo 3

Monte a tabela inicial / variação / equilíbrio (ICE) em termos de concentrações, lembrando que 0,10\\ \mathrm{mol} de Cu em 1\\ \mathrm{L} dá concentração inicial de Cu de 0,10\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Inicial:
[\mathrm{Cu}^{2+}]_0 = 0{,}10\\ \mathrm{mol\,L^{-1}},\qquad [\mathrm{NH}_3]_0 = 2{,}0\\ \mathrm{mol\,L^{-1}},\qquad [\text{complexo}]_0 = 0.
Se x for a concentração de complexo formada em equilíbrio, então:
[\mathrm{Cu}^{2+}] = 0{,}10 - x,
[\mathrm{NH}_3] = 2{,}0 - 4x,
[\mathrm{Cu}(\mathrm{NH}_3)_4^{2+}] = x.
A expressão do equilíbrio fica
K_f=\frac{x}{(0{,}10-x)\,(2{,}0-4x)^4}.

Passo 4

Justificando uma aproximação prática: como K_f é muito grande ( 1{,}1\times 10^{13}), quase todo o \mathrm{Cu}^{2+} será convertido em complexo, ou seja x ficará muito próximo de 0{,}10. Assim podemos aproximar x\approx 0{,}10 ao calcular a pequena concentração residual de \mathrm{Cu}^{2+}. Com essa aproximação, a concentração de amônia em equilíbrio será aproximadamente
[\mathrm{NH}_3] \approx 2{,}0 - 4(0{,}10) = 2{,}0 - 0{,}40 = 1{,}6\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Explicação didática: essa aproximação consiste em considerar que a variação no numerador x é praticamente a quantidade inicial total de cobre, porque o equilíbrio puxa fortemente para o lado do complexo. Depois calculamos precisamente o [\mathrm{Cu}^{2+}] pequeno usando a expressão de K_f.

Passo 5

Usando x\approx 0{,}10 e [\mathrm{NH}_3]\approx 1{,}6 na expressão de K_f, isolamos [\mathrm{Cu}^{2+}]. Reescrevendo a definição:
K_f=\frac{[\mathrm{complexo}]}{[\mathrm{Cu}^{2+}]\,[\mathrm{NH}_3]^4} \quad\Longrightarrow\quad [\mathrm{Cu}^{2+}]=\frac{[\mathrm{complexo}]}{K_f\,[\mathrm{NH}_3]^4}.
Substituindo [\mathrm{complexo}]\approx 0{,}10, K_f=1{,}1\times 10^{13} e [\mathrm{NH}_3]\approx 1{,}6:
[\mathrm{Cu}^{2+}]\approx\frac{0{,}10}{(1{,}1\times 10^{13})\,(1{,}6)^4}.

Passo 6

Calculemos passo a passo:
(1{,}6)^2 = 2{,}56,\qquad (1{,}6)^4 = (1{,}6)^2\cdot(1{,}6)^2 = 2{,}56\cdot 2{,}56 = 6{,}5536.
Multiplicando pelo K_f:
K_f\,[\mathrm{NH}_3]^4 \approx 1{,}1\times 10^{13}\times 6{,}5536 = 7{,}20896\times 10^{13}.
Agora dividir:
[\mathrm{Cu}^{2+}]\approx\frac{0{,}10}{7{,}20896\times 10^{13}} \approx 1{,}387\times 10^{-15}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Arredondando com os algarismos significativos dados nos dados (dois algarismos significativos na concentração de amônia e dois em 0,10 mol), obtemos
[\mathrm{Cu}^{2+}]\approx 1{,}4\times 10^{-15}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 7

Verificação rápida da validade da aproximação: a concentração calculada de \mathrm{Cu}^{2+} é extremamente pequena comparada a 0{,}10\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}, logo a suposição x\approx 0{,}10 é consistente. Assim o resultado é confiável.

Resposta

\left[\mathrm{Cu}^{2+}\right]\approx 1{,}4\times 10^{-15}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

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