A concentração de prata em uma liga cobre-prata é de 1 \% p. Qual é a concentração em quilogramas de prata por metro cúbico da liga? Adote as densidades da Prata e do Cobre de 10,48 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e 8,94 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, respectivamente.

Passo 1

O problema pede que eu calcule a concentração de prata em quilogramas por metro cúbico da liga cobre-prata, sabendo que a liga contém 1\% p. As informações dadas são:
  • Concentração dada: 1\% p (ou seja, 1\% em massa de prata).
  • Densidade da prata: 10{,}48\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Densidade do cobre: 8{,}94\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
    O que preciso encontrar é a massa de prata (em kg) presente em um metro cúbico ( \mathrm{m^{3}}) da liga.

Passo 2

Primeiro, vou explicar conceitos e converter unidades:
  • " 1\% p" significa que a fração em massa de prata na liga é w_{\mathrm{Ag}}=0{,}01. A fração em massa de cobre é w_{\mathrm{Cu}}=0{,}99.
  • Densidade é massa por volume. As densidades foram dadas em \mathrm{g/cm^{3}}. Converto para \mathrm{kg/m^{3}} porque a resposta pedida é em \mathrm{kg/m^{3}}.
    Conversão: 1\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    Portanto: \rho_{\mathrm{Ag}} = 10{,}48\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 10{,}48\times 1000 = 10480\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}
\rho_{\mathrm{Cu}} = 8{,}94\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 8{,}94\times 1000 = 8940\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}

Passo 3

Explico a hipótese e a fórmula que vou usar:
  • Vou assumir que os volumes dos componentes se somam (hipótese de aditividade de volumes), que é a hipótese comum quando a densidade da liga não é fornecida.
  • Se tomo 1\\ \mathrm{kg} de liga, as massas são m_{\mathrm{Ag}}=w_{\mathrm{Ag}}\cdot 1 e m_{\mathrm{Cu}}=w_{\mathrm{Cu}}\cdot 1.
    Os volumes correspondentes são V_{\mathrm{Ag}} = m_{\mathrm{Ag}}/\rho_{\mathrm{Ag}} e V_{\mathrm{Cu}} = m_{\mathrm{Cu}}/\rho_{\mathrm{Cu}}.
    O volume total por 1\\ \mathrm{kg} de liga é V_{\text{total}} = \frac{w_{\mathrm{Ag}}}{\rho_{\mathrm{Ag}}} + \frac{w_{\mathrm{Cu}}}{\rho_{\mathrm{Cu}}}.A densidade da liga é massa/volume; tomando massa 1\\ \mathrm{kg}, \rho_{\text{liga}} = \frac{1}{V_{\text{total}}} = \frac{1}{\dfrac{w_{\mathrm{Ag}}}{\rho_{\mathrm{Ag}}} + \dfrac{w_{\mathrm{Cu}}}{\rho_{\mathrm{Cu}}}}.
  • A concentração de prata em \mathrm{kg/m^{3}} é então a fração em massa de prata multiplicada pela densidade da liga: C_{\mathrm{Ag}} = w_{\mathrm{Ag}}\cdot \rho_{\text{liga}}.

Passo 4

Agora substituo os valores numéricos na expressão de V_{\text{total}}:
\frac{w_{\mathrm{Ag}}}{\rho_{\mathrm{Ag}}} = \frac{0{,}01}{10480}
\frac{w_{\mathrm{Cu}}}{\rho_{\mathrm{Cu}}} = \frac{0{,}99}{8940}
Calculo cada termo (mostrando as contas):
\frac{0{,}01}{10480} \approx 0{,}000000954198\\ \mathrm{m^{3}/kg}
\frac{0{,}99}{8940} \approx 0{,}00011073843\\ \mathrm{m^{3}/kg}
Somando:
V_{\text{total}} \approx 0{,}000000954198 + 0{,}00011073843 = 0{,}000111692628\\ \mathrm{m^{3}/kg}

Passo 5

Agora obtenho a densidade da liga invertendo o volume por massa:
\rho_{\text{liga}} = \frac{1}{V_{\text{total}}} \approx \frac{1}{0{,}000111692628} \approx 8953{,}16\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
(Interpretação: cada metro cúbico dessa liga tem massa aproximadamente 8953{,}16\\ \mathrm{kg}.)

Passo 6

Finalmente, a concentração de prata em \mathrm{kg/m^{3}} é
C_{\mathrm{Ag}} = w_{\mathrm{Ag}}\cdot \rho_{\text{liga}} = 0{,}01 \times 8953{,}16 \approx 89{,}5316\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
Arredondando de forma razoável, tenho 89{,}53\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}. (Isso significa que em cada metro cúbico da liga há cerca de 89{,}5 kg de prata.)

Resposta

\,89{,}53\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}

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