Dada a liga 40 \mathrm{wt} \% \mathrm{Sn}-60 \mathrm{wt} \% \mathrm{~Pb} a150 { }^{\circ} \mathrm{C}, determine:
(a) Qual(is) a(s) fase(s) presente(s)?
(b) Qual é a composição da fase(s) presente(s)?
(c) Qual a fração mássica da(s) fase(s) presente(s)?
(d) Qual a fração volumétrica da(s) fase(s) presente(s)??
Adote as densidades do Pb e Sn são 11,23 e 7,24 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá uma liga com composição 40\\ \mathrm{wt}\%\\ \mathrm{Sn} e 60\\ \mathrm{wt}\%\\ \mathrm{Pb} à temperatura 150^\circ\mathrm{C}. As perguntas são:
(a) Qual(is) a(s) fase(s) presente(s) a 150^\circ\mathrm{C}?
(b) Qual é a composição da(s) fase(s) presente(s) (em wt%)?
(c) Qual a fração mássica da(s) fase(s) presente(s)?
(d) Qual a fração volumétrica da(s) fase(s) presente(s)?
Informações dadas que vamos usar: densidade do \mathrm{Pb} é \rho_{\mathrm{Pb}} = 11{,}23\\ \mathrm{g/cm^3} e densidade do \mathrm{Sn} é \rho_{\mathrm{Sn}}=7{,}24\\ \mathrm{g/cm^3}. Não foi enviada a figura do diagrama de fases, então vou usar os valores típicos do diagrama Pb–Sn (leitura do diagrama): a temperatura eutética é 183^\circ\mathrm{C} aproximadamente e as solubilidades (limites de solubilidade) de Sn em Pb e de Pb em Sn a 150^\circ\mathrm{C} são muito pequenas; para cálculo usarei os valores aproximados comumente adotados/extraídos do diagrama: composição da fase \alpha (Pb–rico) \approx 2\\ \mathrm{wt}\%\,\mathrm{Sn} e da fase \beta (Sn–rico) \approx 98\\ \mathrm{wt}\%\,\mathrm{Sn}. Vou explicitar quando uso esses números.

Passo 2

Determinar as fases presentes em 150^\circ\mathrm{C}. Explicação física curta e intuitiva: o ponto eutético do sistema Sn–Pb ocorre perto de 183^\circ\mathrm{C}. Como 150^\circ\mathrm{C}<183^\circ\mathrm{C}, estamos abaixo do eutético; a composição global 40\\ \mathrm{wt}\%\\ \mathrm{Sn} é menor que a composição eutética ( \approx 63\\ \mathrm{wt}\%\\ \mathrm{Sn}), portanto a liga é hipoeutética. Resultado: à 150^\circ\mathrm{C} a liga está formata por duas fases sólidas em equilíbrio: a fase \alpha (solução sólida rica em Pb) e a fase \beta (solução sólida rica em Sn).
Observação: não há líquido a 150^\circ\mathrm{C} porque estamos abaixo do ponto eutético.

Passo 3

Determinar as composições das fases ( \alpha e \beta) a 150^\circ\mathrm{C}.
Explicação do que significa: as composições das fases em equilíbrio são os limites de solubilidade no diagrama de fases para a temperatura dada — ou seja, a fração de Sn presente na fase \alpha (que é pequena) e a fração de Sn presente na fase \beta (que é grande). Aqui, como não foi fornecida a figura, uso os valores típicos lidos no diagrama Pb–Sn:
\displaystyle C_\alpha \approx 2\\ \mathrm{wt}\%\,\mathrm{Sn} (o que significa 98\\ \mathrm{wt}\%\,\mathrm{Pb} na fase \alpha).
\displaystyle C_\beta \approx 98\\ \mathrm{wt}\%\,\mathrm{Sn} (o que significa 2\\ \mathrm{wt}\%\,\mathrm{Pb} na fase \beta).
Esses valores são os limites de solubilidade em massa para 150^\circ\mathrm{C} usados aqui.

Passo 4

Calcular as frações mássicas das fases usando a regra da alavanca (lever rule). Primeiro explico a receita: se a composição global da liga é \displaystyle C_0 (em wt% Sn), e as composições de equilíbrio das fases na temperatura considerada são \displaystyle C_\alpha e \displaystyle C_\beta (também em wt% Sn), então a fração mássica da fase \beta é
\displaystyle W_\beta = \frac{C_0 - C_\alpha}{C_\beta - C_\alpha},
e a fração mássica da fase \alpha é
\displaystyle W_\alpha = 1 - W_\beta = \frac{C_\beta - C_0}{C_\beta - C_\alpha}.
Explicação da fórmula: a alavanca compara distâncias em composição ao longo da linha de composição — funciona porque massa se conserva e cada fase tem sua composição fixa em equilíbrio.

Passo 5

Aplicar a fórmula com os números conhecidos. Aqui \displaystyle C_0 = 40\\ \mathrm{wt}\%\,\mathrm{Sn}, \displaystyle C_\alpha = 2\\ \mathrm{wt}\%\,\mathrm{Sn}, \displaystyle C_\beta = 98\\ \mathrm{wt}\%\,\mathrm{Sn}. Então
\displaystyle W_\beta = \frac{40 - 2}{98 - 2}=\frac{38}{96}=0{,}395833\ldots
\displaystyle W_\alpha = 1 - 0{,}395833\ldots = 0{,}604166\ldots
Interpretação: a fração mássica da fase \beta é \approx 0{,}3958 (ou 39{,}58\% em massa) e a da fase \alpha é \approx 0{,}6042 (ou 60{,}42\% em massa).

Passo 6

Agora preciso das frações volumétricas. Estratégia: escolher uma massa total de referência (por exemplo 1{,}000\\ \mathrm{g} ou 1\\ \mathrm{g}); eu uso 1\\ \mathrm{g} da liga por simplicidade. Com 1\\ \mathrm{g} total, as massas de cada fase são:
m_\beta = W_\beta\times 1\\ \mathrm{g}=0{,}395833\\ \mathrm{g},
m_\alpha = W_\alpha\times 1\\ \mathrm{g}=0{,}604167\\ \mathrm{g}.
Para obter volumes precisamos das densidades de cada fase. Cada fase é uma solução sólida com composições dadas; para estimar a densidade de cada fase podemos assumir aditividade de volumes (aproximação comum): para uma fase com \mathrm{wt}\% de Sn igual a w_{\mathrm{Sn}}, a densidade da fase \rho_{\text{fase}} é dada por
\displaystyle \rho_{\text{fase}}=\frac{1}{\displaystyle \frac{w_{\mathrm{Sn}}}{\rho_{\mathrm{Sn}}} + \frac{1-w_{\mathrm{Sn}}}{\rho_{\mathrm{Pb}}}}.
Explicação: para 1 g da fase, o volume é soma das contribuições m/\rho de cada componente; invertendo obtemos densidade média.

Passo 7

Calcular densidades das fases usando as composições já estabelecidas.
Para a fase \alpha: w_{\mathrm{Sn},\alpha}=0{,}02. Então
\displaystyle \rho_\alpha=\frac{1}{\frac{0{,}02}{7{,}24}+\frac{0{,}98}{11{,}23}}.
Calculemos numericamente (vou mostrar as contas):
\frac{0{,}02}{7{,}24}=0{,}00276243\ldots,\qquad \frac{0{,}98}{11{,}23}=0{,}08724115\ldots
soma =0{,}09000358\ldots e portanto
\displaystyle \rho_\alpha \approx \frac{1}{0{,}09000358}=11{,}1107\\ \mathrm{g/cm^3}.
Para a fase \beta: w_{\mathrm{Sn},\beta}=0{,}98. Então
\displaystyle \rho_\beta=\frac{1}{\frac{0{,}98}{7{,}24}+\frac{0{,}02}{11{,}23}}.
Calculemos:
\frac{0{,}98}{7{,}24}=0{,}13535857\ldots,\qquad \frac{0{,}02}{11{,}23}=0{,}00178042\ldots
soma =0{,}13713899\ldots e portanto
\displaystyle \rho_\beta \approx \frac{1}{0{,}13713899}=7{,}2929\\ \mathrm{g/cm^3}.

Passo 8

Calcular os volumes ocupados por cada fase (usando a massa de referência 1\\ \mathrm{g}):
Volumes:
V_\beta=\frac{m_\beta}{\rho_\beta}=\frac{0{,}395833}{7{,}2929}\approx 0{,}05429\\ \mathrm{cm^3},
V_\alpha=\frac{m_\alpha}{\rho_\alpha}=\frac{0{,}604167}{11{,}1107}\approx 0{,}05437\\ \mathrm{cm^3}.
Volume total V_{\text{tot}}=V_\alpha+V_\beta\approx 0{,}10866\\ \mathrm{cm^3}.
Fração volumétrica de cada fase:
\displaystyle f_{v,\beta}=\frac{V_\beta}{V_{\text{tot}}}\approx\frac{0{,}05429}{0{,}10866}\approx 0{,}4995\\ (\text{ou }49{,}95\%),
\displaystyle f_{v,\alpha}=\frac{V_\alpha}{V_{\text{tot}}}\approx 0{,}5005\\ (\text{ou }50{,}05\%).
Interpretação: em massa a liga é \approx 60{,}4\% \alpha e 39{,}6\% \beta, mas como \alpha é muito mais denso que \beta, em volume as frações ficam quase iguais (~50/50).

Resposta

(a) \alpha (solução sólida Pb‑rica) e \beta (solução sólida Sn‑rica).
(b) C_\alpha\approx 2\\ \mathrm{wt}\%\\ \mathrm{Sn} (isto é, \approx 98\\ \mathrm{wt}\%\\ \mathrm{Pb}); C_\beta\approx 98\\ \mathrm{wt}\%\\ \mathrm{Sn} (isto é, \approx 2\\ \mathrm{wt}\%\\ \mathrm{Pb}).
(c) W_\alpha\approx 0{,}6042 ( 60{,}42\\ \mathrm{wt}\%) e W_\beta\approx 0{,}3958 ( 39{,}58\\ \mathrm{wt}\%).
(d) f_{v,\alpha}\approx 0{,}5005 ( 50{,}05\\ \mathrm{vol}\%) e f_{v,\beta}\approx 0{,}4995 ( 49{,}95\\ \mathrm{vol}\%).

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