Calcule o comprimento da aresta da célula unitária para uma liga 80 \% \mathrm{p} \mathrm{Fe}-20 \% \mathrm{p} \mathrm{Cu}. Todo o cobre está em solução sólida e, à temperatura ambiente, a estrutura cristalina para essa liga é CCC.
Adote a massa específica do Cu e do Fe de 8,94 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e 7,87 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, respectivamente, e as massas atômicas do Cu e do Fe de 63,55 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} e 55,85 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o comprimento da aresta da célula unitária para uma liga com composição 80\% em massa de Fe e 20\% em massa de Cu, sabendo que todo o Cu está em solução sólida na estrutura cúbica de corpo centrado (CCC) à temperatura ambiente. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Composição em massa: } w_{\text{Fe}}=0{,}80,\quad w_{\text{Cu}}=0{,}20,\\\ &\text{Densidades: } \rho_{\text{Fe}}=7{,}87\\ \text{g/cm}^3,\quad \rho_{\text{Cu}}=8{,}94\\ \text{g/cm}^3,\\\ &\text{Massas atômicas: } M_{\text{Fe}}=55{,}85\\ \text{g/mol},\quad M_{\text{Cu}}=63{,}55\\ \text{g/mol}. \end{aligned}çãô
Pergunta explícita: determinar o comprimento da aresta da célula unitária a (em unidades usuais: Å ou nm).
Observação importante do enunciado (usarei sem perguntar): a estrutura é CCC (BCC), portanto cada célula unitária tem 2 átomos efetivos.

Passo 2

Motivo e estratégia (breve, só para orientar o cálculo): para calcular a preciso do volume da célula unitária. Se eu souber quantos átomos existem por unidade de volume do material (densidade atômica, átomos/cm ^3), divido pelo número de átomos por célula (aqui 2) para obter o número de células por cm ^3; o volume de cada célula é o inverso desse número e a é a raiz cúbica desse volume. Vou calcular a densidade da liga por mistura de volumes (assumindo volume aditivo), depois obterei o número de mols de átomos por grama da liga e daí os átomos por cm ^3.

Passo 3

Cálculo da densidade da liga por regra do somatório de volumes (assumindo mistura ideal, sem variação de volume):
\rho_{\text{liga}}=\frac{1}{\dfrac{w_{\text{Fe}}}{\rho_{\text{Fe}}}+\dfrac{w_{\text{Cu}}}{\rho_{\text{Cu}}}}.
Substituindo os valores:
\rho_{\text{liga}}=\frac{1}{\dfrac{0{,}80}{7{,}87}+\dfrac{0{,}20}{8{,}94}}.
Faço as divisões:
\dfrac{0{,}80}{7{,}87}=0{,}101659756\quad\text{e}\quad \dfrac{0{,}20}{8{,}94}=0{,}022366869.
Soma:
\dfrac{0{,}80}{7{,}87}+\dfrac{0{,}20}{8{,}94}=0{,}124026625.
Logo
\rho_{\text{liga}}=\frac{1}{0{,}124026625}=8{,}062694\\ \text{g/cm}^3.

Passo 4

Cálculo do número de mols de átomos por grama da liga (mols de átomos por g do material). Para 1 g da liga:
n_{\text{Fe}}=\frac{w_{\text{Fe}}}{M_{\text{Fe}}}=\frac{0{,}80}{55{,}85}=0{,}014327791\\ \text{mol/g},
n_{\text{Cu}}=\frac{w_{\text{Cu}}}{M_{\text{Cu}}}=\frac{0{,}20}{63{,}55}=0{,}003148540\\ \text{mol/g}.
Mols totais de átomos por grama:
n_{\text{total}}=n_{\text{Fe}}+n_{\text{Cu}}=0{,}014327791+0{,}003148540=0{,}017476331\\ \text{mol/g}.

Passo 5

Transformo isso em mols por cm ^3 usando a densidade da liga:
\text{mols por cm}^3 = n_{\text{total}}\times \rho_{\text{liga}} = 0{,}017476331\times 8{,}062694=0{,}1409394\\ \text{mol/cm}^3.

Passo 6

Converto mols por cm ^3 em átomos por cm ^3 usando a constante de Avogadro N_A=6{,}022\times 10^{23}\\ \text{mol}^{-1}:
N_{\text{átomos/cm}^3}=0{,}1409394\times 6{,}022\times 10^{23}=8{,}4869\times 10^{22}\\ \text{átomos/cm}^3.áá

Passo 7

Como cada célula BCC (CCC) contém 2 átomos efetivos, o número de células por cm ^3 é
N_{\text{células/cm}^3}=\frac{N_{\text{átomos/cm}^3}}{2}=\frac{8{,}4869\times 10^{22}}{2}=4{,}24345\times 10^{22}\\ \text{células/cm}^3.éáé

Passo 8

Volume de uma célula unitária (em cm ^3) é o inverso do número de células por cm ^3:
V_{\text{célula}}=\frac{1}{N_{\text{células/cm}^3}}=\frac{1}{4{,}24345\times 10^{22}}=2{,}3561\times 10^{-23}\\ \text{cm}^3.éé

Passo 9

A aresta a da célula cúbica é a raiz cúbica do volume da célula:
a=\sqrt[3]{V_{\text{célula}}}=\sqrt[3]{2{,}3561\times 10^{-23}}\\ \text{cm}.é
Calculo da raiz cúbica:
a=2{,}8588\times 10^{-8}\\ \text{cm}.
Convertendo para unidades mais usuais:
a=2{,}8588\\ \text{\AA}\quad(\text{já que }1\\ \text{\AA}=10^{-8}\\ \text{cm})á
ou
a=0{,}28588\\ \text{nm}.

Resposta

a=2{,}86\\ \text{\AA}

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