A concentração de vacâncias
em um sólido à temperatura
é dada por:
onde:
-
: número total de átomos no cristal
-
: energia de formação da vacância (em eV )
-
: constante de Boltzmann
-
: temperatura absoluta em Kelvin
Um cristal de cobre
contém
átomos
. A energia de formação de vacância é
.
a) Calcule a concentração de vacâncias a
b) Qual o significado físico desse resultado?
onde:
Um cristal de cobre
a) Calcule a concentração de vacâncias a
b) Qual o significado físico desse resultado?
Passo 1
O enunciado dá a concentração de vacâncias por unidade de volume numa rede cristalina pela fórmula
e pede duas coisas:
- (a) Calcular a concentração de vacâncias em
(assumo que é ). - (b) Explicar o significado físico do resultado obtido.
Dados fornecidos (vou listá‑los exatamente):
Passo 2
Vou explicar a fórmula antes de aplicar números (porque isso ajuda na prova): a expressão
vem da estatística de Boltzmann. Aqui:
-
é o número total de sítios atômicos por metro cúbico (cada sítio pode ter ou não um átomo). -
é a energia necessária para criar uma vacância (tirar um átomo do sítio). -
é a constante de Boltzmann (aqui dada em para combinar com em eV). -
é a temperatura absoluta em kelvin.
A interpretação prática:é a probabilidade (fração) de um sítio estar vazio por causa de flutuações térmicas. Multiplicando por obtemos o número de vacâncias por metro cúbico.
Passo 3
Calcular
(colocando todos os números em notação dada):
Faço a conta:
Passo 4
Calcular o quociente
:
Esse número significa que formar uma vacância custa cerca de
vezes
na escala natural — portanto a probabilidade é
, que é um número pequeno.
Passo 5
Calcular a exponencial
. Para fazer isso sem depender de calculadora complicada, converto para base 10 usando
:
Agora escrevo
Calculo
aproximando por
e usando
:
Portanto
Passo 6
Agora multiplico pela densidade de sítios
:
Fazendo a multiplicação:
Arredondando razoavelmente para duas cifras significativas:
Passo 7
Interpretação física detalhada (parte b) e intuição para a prova:
- A fração de sítios que estão vazios é
ou seja aproximadamente
partes por milhão (ppm). Em palavras: cerca de 9 em cada 1 milhão de sítios cristalinos estão vazios a
.
- Outra forma útil de ver: em média há uma vacância a cada
átomos, ou seja aproximadamente uma vacância por
sítios.
- Significado prático: apesar de ser um número pequeno (fração de ordem
), é suficientemente alto para afetar propriedades do material a temperaturas elevadas (difusão, resistência mecânica etc.). Em provas, quando vir essa fórmula, o procedimento é sempre o mesmo: calcular , formar o quociente , avaliar a exponencial (conversão para base 10 é útil para obter ordens de grandeza) e multiplicar por .
Resposta
a)
\n
b) A fração de sítios vazios é (aprox.
ppm), ou seja, há em média uma vacância a cada
átomos; esse valor indica que, a
, vacâncias térmicas são raras mas suficientes para influenciar processos como difusão.
b) A fração de sítios vazios é