A concentração de vacâncias n_{v} em um sólido à temperatura T é dada por:
n_{v}=N cdot exp (-\frac{Q_{v}}{k T})
onde:
  • N : número total de átomos no cristal
  • Q_{v} : energia de formação da vacância (em eV )
  • k=8.617 \times 10^{-5} \mathrm{eV} / \mathrm{K} : constante de Boltzmann
  • T : temperatura absoluta em Kelvin
    Um cristal de cobre (\mathrm{Cu}) contém \mathrm{N}=1 \times 10^{28} átomos / \mathrm{m}^{3}. A energia de formação de vacância é \mathrm{Qv}=0.9 \mathrm{eV}.
    a) Calcule a concentração de vacâncias a \mathrm{T}=900
    b) Qual o significado físico desse resultado?

Passo 1

O enunciado dá a concentração de vacâncias por unidade de volume numa rede cristalina pela fórmula
n_{v}=N\cdot\exp\!\left(-\frac{Q_{v}}{k\,T}\right),
e pede duas coisas:
  1. (a) Calcular a concentração de vacâncias em T=900 (assumo que é 900\\ \mathrm{K}).
  2. (b) Explicar o significado físico do resultado obtido.
Dados fornecidos (vou listá‑los exatamente):
N = 1\times 10^{28}\\ \text{átomos/m}^{3},á
Q_{v}=0{,}9\\ \text{eV},
k = 8{,}617\times 10^{-5}\\ \text{eV/K},
T = 900\\ \text{K}.

Passo 2

Vou explicar a fórmula antes de aplicar números (porque isso ajuda na prova): a expressão
n_{v}=N\cdot\exp\!\left(-\frac{Q_{v}}{k\,T}\right)
vem da estatística de Boltzmann. Aqui:
  • N é o número total de sítios atômicos por metro cúbico (cada sítio pode ter ou não um átomo).
  • Q_{v} é a energia necessária para criar uma vacância (tirar um átomo do sítio).
  • k é a constante de Boltzmann (aqui dada em \mathrm{eV/K} para combinar com Q_{v} em eV).
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
    A interpretação prática: \exp(-Q_{v}/(kT)) é a probabilidade (fração) de um sítio estar vazio por causa de flutuações térmicas. Multiplicando por N obtemos o número de vacâncias por metro cúbico.

Passo 3

Calcular kT (colocando todos os números em notação dada):
kT = \left(8{,}617\times 10^{-5}\right)\cdot 900\\ \text{eV}.
Faço a conta:
kT = 8{,}617\times 10^{-5}\cdot 900 = 0{,}077553\\ \text{eV}.

Passo 4

Calcular o quociente \dfrac{Q_{v}}{kT}:
\frac{Q_{v}}{kT} = \frac{0{,}9}{0{,}077553}\approx 11{,}607.
Esse número significa que formar uma vacância custa cerca de 11{,}6 vezes kT na escala natural — portanto a probabilidade é \exp(-11{,}607), que é um número pequeno.

Passo 5

Calcular a exponencial \exp(-11{,}607). Para fazer isso sem depender de calculadora complicada, converto para base 10 usando \ln(10)\approx 2{,}302585:
\exp(-11{,}607)=10^{\,-11{,}607/\ln(10)}=10^{-5{,}042}.
Agora escrevo
10^{-5{,}042}=10^{-5}\cdot 10^{-0{,}042}.
Calculo 10^{-0{,}042} aproximando por 10^{-0{,}042}=e^{-0{,}042\ln(10)} e usando \ln(10)\approx 2{,}302585:
10^{-0{,}042}\approx e^{-0{,}042\cdot 2{,}302585}=e^{-0{,}0967}\approx 0{,}9078.
Portanto
\exp(-11{,}607)\approx 10^{-5}\cdot 0{,}9078 = 9{,}078\times 10^{-6}.

Passo 6

Agora multiplico pela densidade de sítios N:
n_{v}=N\cdot\exp\!\left(-\frac{Q_{v}}{kT}\right) =1\times 10^{28}\cdot 9{,}078\times 10^{-6}.
Fazendo a multiplicação:
n_{v}\approx 9{,}078\times 10^{22}\\ \text{vacâncias/m}^{3}.â
Arredondando razoavelmente para duas cifras significativas:
n_{v}\approx 9{,}1\times 10^{22}\\ \text{vacâncias/m}^{3}.â

Passo 7

Interpretação física detalhada (parte b) e intuição para a prova:
  • A fração de sítios que estão vazios é
\frac{n_{v}}{N} \approx 9{,}078\times 10^{-6}\approx 9{,}1\times 10^{-6},
ou seja aproximadamente 9{,}1 partes por milhão (ppm). Em palavras: cerca de 9 em cada 1 milhão de sítios cristalinos estão vazios a 900\\ \mathrm{K}.
  • Outra forma útil de ver: em média há uma vacância a cada
\frac{1}{9{,}078\times 10^{-6}}\approx 1{,}10\times 10^{5}
átomos, ou seja aproximadamente uma vacância por 1{,}1\times 10^{5} sítios.
  • Significado prático: apesar de ser um número pequeno (fração de ordem 10^{-5}), é suficientemente alto para afetar propriedades do material a temperaturas elevadas (difusão, resistência mecânica etc.). Em provas, quando vir essa fórmula, o procedimento é sempre o mesmo: calcular kT, formar o quociente Q_{v}/(kT), avaliar a exponencial (conversão para base 10 é útil para obter ordens de grandeza) e multiplicar por N.

Resposta

a) n_{v}\approx 9{,}1\times 10^{22}\\ \text{vacâncias/m}^{3}â\n
b) A fração de sítios vazios é \dfrac{n_{v}}{N}\approx 9{,}1\times 10^{-6} (aprox. 9{,}1 ppm), ou seja, há em média uma vacância a cada \approx 1{,}1\times 10^{5} átomos; esse valor indica que, a 900\\ \mathrm{K}, vacâncias térmicas são raras mas suficientes para influenciar processos como difusão.

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