Cobre tem raio atômico de 0,128 \mathrm{~nm}(1,28 \AA), um peso atômico de 63,5 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}. A densidade do cobre vale 8,89 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Determine se o cobre possui uma estrutura CCC ou CFC, e dê o fator de empacotamento da estrutura.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.
Dado:
  • raio atômico do cobre: r=0{,}128\\ \mathrm{nm} (o enunciado também mostrou 1{,}28\\ \text{\AA}; vou usar r=1{,}28\times10^{-8}\\ \mathrm{cm} — a conversão será feita adiante),
  • massa atômica: A=63{,}5\\ \mathrm{g/mol},
  • densidade experimental: \rho_{\text{exp}}=8{,}89\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Pede-se:
  1. Determinar se o cobre tem estrutura CCC (cúbica de corpo centrado, BCC) ou CFC (cúbica de faces centradas, FCC).
  2. Determinar o fator de empacotamento (fator de ocupação) da estrutura correta.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de modo didático):
  • Fórmula geral da densidade para um cristal cúbico:
\rho=\frac{Z\;A}{N_{A}\;a^{3}},
onde:
  • \rho é a densidade (g/cm³),
  • Z é o número de átomos por cela unitária (característico da malha: Z=2 para BCC e Z=4 para FCC),
  • A é a massa atômica (g/mol),
  • N_{A} é a constante de Avogadro \left(N_{A}=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}\right),
  • a é o parâmetro de rede (aresta da cela cúbica) em cm.
  • Relação entre a e o raio atômico r:
    • Para BCC (CCC): os átomos tocam ao longo da diagonal do corpo, então a diagonal do cubo vale a\sqrt{3}=4r. Assim
    a_{\text{BCC}}=\frac{4r}{\sqrt{3}}.
    • Para FCC (CFC): os átomos tocam ao longo da diagonal da face, então a diagonal da face vale a\sqrt{2}=4r. Assim
    a_{\text{FCC}}=\frac{4r}{\sqrt{2}}.
    Explicação curta do porquê: em FCC e BCC, os átomos são aproximados por esferas que se tocam em direções específicas (face ou corpo), e daí surge a relação geométrica entre a e r.
Com estas relações podemos calcular a para cada hipótese (BCC ou FCC), calcular a densidade teórica usando a fórmula da densidade e comparar com \rho_{\text{exp}}. A hipótese que produzir \rho próxima de 8{,}89\\ \mathrm{g/cm^{3}} é a correta.

Passo 3

Converter o raio para unidades compatíveis com a densidade (cm).
Dado r=0{,}128\\ \mathrm{nm}. Sabendo 1\\ \text{nm}=10^{-7}\\ \mathrm{cm} ou 1\\ \text{\AA}=10^{-8}\\ \mathrm{cm}, temos
r=0{,}128\\ \mathrm{nm}=1{,}28\\ \text{\AA}=1{,}28\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Vou usar r=1{,}28\times10^{-8}\\ \mathrm{cm} nos cálculos numéricos.

Passo 4

Calcular densidade assumindo CFC (FCC).
  1. Calcular a_{\text{FCC}}:
a_{\text{FCC}}=\frac{4r}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot 1{,}28\times10^{-8}}{\sqrt{2}}\\ \mathrm{cm}.
Numericamente,
a_{\text{FCC}}=\frac{5{,}12\times10^{-8}}{1{,}41421356}\approx 3{,}621\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
  1. Calcular a_{\text{FCC}}^{3}:
a_{\text{FCC}}^{3}\approx (3{,}621\times10^{-8})^{3}=4{,}7478\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.
  1. Usar a fórmula da densidade com Z=4 (FCC):
\rho_{\text{FCC}}=\frac{Z\,A}{N_{A}\,a^{3}}=\frac{4\cdot 63{,}5}{6{,}022\times10^{23}\cdot 4{,}7478\times10^{-23}}\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Calculemos o denominador numérico:
N_{A}a^{3}\approx 6{,}022\times10^{23}\cdot 4{,}7478\times10^{-23}\approx 28{,}59.
E o numerador:
Z A = 4\cdot63{,}5=254.
Portanto
\rho_{\text{FCC}}\approx\frac{254}{28{,}59}\approx 8{,}884\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Comparando com a densidade experimental \rho_{\text{exp}}=8{,}89\\ \mathrm{g/cm^{3}}, vemos uma ótima concordância (diferença desprezível decorrente de arredondamentos). Logo a hipótese CFC é compatível.

Passo 5

Calcular densidade assumindo CCC (BCC) para confirmar que não bate.
  1. Calcular a_{\text{BCC}}:
a_{\text{BCC}}=\frac{4r}{\sqrt{3}}=\frac{5{,}12\times10^{-8}}{1{,}7320508}\approx 2{,}957\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
  1. Calcular a_{\text{BCC}}^{3}:
a_{\text{BCC}}^{3}\approx (2{,}957\times10^{-8})^{3}=2{,}586\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.
  1. Usar a fórmula da densidade com Z=2 (BCC):
\rho_{\text{BCC}}=\frac{2\cdot63{,}5}{6{,}022\times10^{23}\cdot 2{,}586\times10^{-23}}.
Calculemos:
N_{A}a^{3}\approx 6{,}022\times10^{23}\cdot 2{,}586\times10^{-23}\approx 15{,}57,
\text{numerador}=127.
Logo
\rho_{\text{BCC}}\approx\frac{127}{15{,}57}\approx 8{,}16\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Esse valor difere sensivelmente de 8{,}89\\ \mathrm{g/cm^{3}}, então a estrutura BCC não é compatível com os dados.

Passo 6

Conclusão sobre a estrutura: a que dá densidade compatível é a CFC (FCC). Agora vamos calcular o fator de empacotamento (packing factor) dessa estrutura e explicar o cálculo.
Definição do fator de empacotamento (PF): fração do volume da cela unitária ocupada por átomos (esferas):
\text{PF}=\frac{Z\cdot V_{\text{esfera}}}{a^{3}}=\frac{Z\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}}{a^{3}}.
Para FCC temos Z=4 e a_{\text{FCC}}=\dfrac{4r}{\sqrt{2}}. Substituindo:
\text{PF}_{\text{FCC}}=\frac{4\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}}{\left(\frac{4r}{\sqrt{2}}\right)^{3}}.
Fazendo a álgebra (os r^{3} cancelam), obtemos a expressão conhecida:
\text{PF}_{\text{FCC}}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}.
Valor numérico:
\text{PF}_{\text{FCC}}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}74048\approx 74{,}05\%.
(Para comparação: o PF de BCC é \text{PF}_{\text{BCC}}=\dfrac{\sqrt{3}\pi}{8}\approx 0{,}6802, menor que o do FCC.)

Passo 7

Resumo final e incentivo: com os cálculos mostramos passo a passo como usar a relação geométrica a\leftrightarrow r e a fórmula da densidade para distinguir FCC de BCC. Dá um pouco de trabalho, mas é um procedimento padrão e confiável — você consegue repetir isso em prova com calma. Vamos em frente, você tá indo bem!

Resposta

CFC (cúbica de faces centradas)
\displaystyle \text{Fator de empacotamento}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}74048\\ \;(74{,}05\%)

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