Cobre tem raio atômico de
, um peso atômico de
. A densidade do cobre vale
. Determine se o cobre possui uma estrutura CCC ou CFC, e dê o fator de empacotamento da estrutura.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.
Dado:
- raio atômico do cobre:
(o enunciado também mostrou ; vou usar — a conversão será feita adiante), - massa atômica:
, - densidade experimental:
.
Pede-se:
- Determinar se o cobre tem estrutura CCC (cúbica de corpo centrado, BCC) ou CFC (cúbica de faces centradas, FCC).
- Determinar o fator de empacotamento (fator de ocupação) da estrutura correta.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de modo didático):
- Fórmula geral da densidade para um cristal cúbico:
onde:
-
é a densidade (g/cm³), -
é o número de átomos por cela unitária (característico da malha: para BCC e para FCC), -
é a massa atômica (g/mol), -
é a constante de Avogadro , -
é o parâmetro de rede (aresta da cela cúbica) em cm. -
Relação entre
e o raio atômico : - Para BCC (CCC): os átomos tocam ao longo da diagonal do corpo, então a diagonal do cubo vale
. Assim
- Para FCC (CFC): os átomos tocam ao longo da diagonal da face, então a diagonal da face vale
. Assim
Explicação curta do porquê: em FCC e BCC, os átomos são aproximados por esferas que se tocam em direções específicas (face ou corpo), e daí surge a relação geométrica entree . - Para BCC (CCC): os átomos tocam ao longo da diagonal do corpo, então a diagonal do cubo vale
Com estas relações podemos calcular
para cada hipótese (BCC ou FCC), calcular a densidade teórica usando a fórmula da densidade e comparar com
. A hipótese que produzir
próxima de
é a correta.
Passo 3
Converter o raio para unidades compatíveis com a densidade (cm).
Dado
. Sabendo
ou
, temos
Vou usar
nos cálculos numéricos.
Passo 4
Calcular densidade assumindo CFC (FCC).
- Calcular
:
Numericamente,
- Calcular
:
- Usar a fórmula da densidade com
(FCC):
Calculemos o denominador numérico:
E o numerador:
Portanto
Comparando com a densidade experimental
, vemos uma ótima concordância (diferença desprezível decorrente de arredondamentos). Logo a hipótese CFC é compatível.
Passo 5
Calcular densidade assumindo CCC (BCC) para confirmar que não bate.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Usar a fórmula da densidade com
(BCC):
Calculemos:
Logo
Esse valor difere sensivelmente de
, então a estrutura BCC não é compatível com os dados.
Passo 6
Conclusão sobre a estrutura: a que dá densidade compatível é a CFC (FCC). Agora vamos calcular o fator de empacotamento (packing factor) dessa estrutura e explicar o cálculo.
Definição do fator de empacotamento (PF): fração do volume da cela unitária ocupada por átomos (esferas):
Para FCC temos
e
. Substituindo:
Fazendo a álgebra (os
cancelam), obtemos a expressão conhecida:
Valor numérico:
(Para comparação: o PF de BCC é
, menor que o do FCC.)
Passo 7
Resumo final e incentivo: com os cálculos mostramos passo a passo como usar a relação geométrica
e a fórmula da densidade para distinguir FCC de BCC. Dá um pouco de trabalho, mas é um procedimento padrão e confiável — você consegue repetir isso em prova com calma. Vamos em frente, você tá indo bem!
Resposta
CFC (cúbica de faces centradas)