Uma concessionária está oferecendo uma promoção onde os pneus do veículo são substituídos gratuitamente durante toda a vida útil do carro, desde que ele seja adquirido na loja. Espera-se que os pneus originais durem 30.000 milhas e que os substitutos durem o mesmo, sendo trocados a cada 30.000 milhas. Você dirige, em média, 15.000 milhas por ano. Um jogo de pneus novos custa \ 400 . Se você trocar de carro após 150.000 milhas, com pneus novos no momento da troca, qual é o valor presente em parcela única dessa oferta promocional? Considere uma taxa de juros pessoal deêóéú12 %$ ao ano.
P_{0}=1.060,00

Passo 1

O enunciado diz que temos trocas gratuitas de um jogo de pneus (custo normal de \$400) a cada 30.000 milhas. Você dirige 15.000 milhas por ano, usa o carro até 150.000 milhas (ou seja, 10 anos) e sua taxa de juros é de 12\% ao ano. Vamos calcular o valor presente (VP) das cinco trocas de pneus que ocorreriam aos 2, 4, 6, 8 e 10 anos.

Passo 2

Cada troca ocorre a cada
\frac{30.000\text{ milhas}}{15.000\text{ milhas/ano}} = 2\text{ anos}
Logo, em 150.000 milhas teremos
\frac{150.000}{30.000} = 5\text{ trocas}
nos instantes t=2,4,6,8,10 anos.

Passo 3

O valor presente de uma troca ao tempo t é
\frac{400}{(1{,}12)^{t}}.
Assim, o VP total é
400\Bigl(\frac{1}{1{,}12^{2}} + \frac{1}{1{,}12^{4}} + \frac{1}{1{,}12^{6}} + \frac{1}{1{,}12^{8}} + \frac{1}{1{,}12^{10}}\Bigr).

Passo 4

Calculando cada fator de desconto:
\frac{1}{1{,}12^{2}}\approx0{,}7972,\quad \frac{1}{1{,}12^{4}}\approx0{,}6356,\quad \frac{1}{1{,}12^{6}}\approx0{,}5068,
\frac{1}{1{,}12^{8}}\approx0{,}4040,\quad \frac{1}{1{,}12^{10}}\approx0{,}3220.
A soma desses fatores é cerca de
0{,}7972 + 0{,}6356 + 0{,}5068 + 0{,}4040 + 0{,}3220 = 2{,}6656,
portanto
VP = 400 \times 2{,}6656 \approx 1066{,}24.

Resposta

O valor presente da oferta promocional é aproximadamente \$1.060,00.

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