O primeiro Congresso dos EUA, em 1789, fixou o salário do presidente em \ 25.000 por ano. Em 2014, o salário do presidente é deáé$400.000$ por ano. Qual foi o aumento médio anual composto do salário presidencial ao longo dos últimos 225 anos?
i=1,24 \% \text { а.а. }аа

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a taxa média de crescimento anual composta do salário presidencial dos EUA, que passou de \$25\,000 em 1789 para \$400\,000 em 2014, ao longo de 225 anos. O conteúdo aqui é juros compostos, e vamos usar a fórmula do valor futuro.

Passo 2

Seja S_0=25\,000 o salário inicial, S=400\,000 o salário final e n=225 o número de anos. A relação de juros compostos é
S = S_0 \,(1+i)^n
onde i é a taxa anual composta que queremos achar.

Passo 3

Isolando o fator de crescimento:
\frac{S}{S_0} = (1+i)^n \quad\Longrightarrow\quad (1+i) = \Bigl(\frac{S}{S_0}\Bigr)^{1/n}.

Passo 4

Calculemos a razão \tfrac{S}{S_0}:
\frac{S}{S_0} = \frac{400\,000}{25\,000} = 16.
Logo
1+i = 16^{1/225}.

Passo 5

Para achar i numericamente, usamos logaritmo natural:
\ln(1+i) = \frac{1}{225}\,\ln 16 \quad\Longrightarrow\quad 1+i = \exp\!\Bigl(\tfrac{\ln 16}{225}\Bigr).
Como \ln 16 \approx 2,7726, temos
1+i \approx \exp\!\bigl(0,012323\bigr)\approx 1,012398 \quad\Longrightarrow\quad i \approx 0,012398 = 1,2398\%.

Resposta

\displaystyle i \approx 1,24\%\text{ a.a.}

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