Conclua as igualdades usando integração por partes
integral x^2 sin (pi x) d x=(2-pi^2 x^2) cos (pi x)+2 pi x sin (pi x)pi^3+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x^2sin(pi x),dx usando integração por partes. O conteúdo aqui é a fórmula de integração por partes integral u,dv = u,v - integral v,du, e vamos precisar aplicá-la duas vezes.

Passo 2

Escolhemos na primeira aplicação u = x^2 e dv = sin(pi x),dx. Então
du = 2x,dx, v = integral sin(pi x),dx = -1picos(pi x)

Passo 3

Substituindo na fórmula de partes:
integral x^2sin(pi x),dx = u v - integral v,du = -x^2picos(pi x) + 2piintegral xcos(pi x),dx

Passo 4

Agora aplicamos uma segunda vez em integral xcos(pi x),dx. Dessa vez escolhemos u1 = x e dv1 = cos(pi x),dx, logo
du1 = dx, v1 = integral cos(pi x),dx = 1pisin(pi x)

Passo 5

Então
integral xcos(pi x),dx = u1 v1 - integral v1,du1 = xpisin(pi x) - 1piintegral sin(pi x),dx = xpisin(pi x) + 1pi^2cos(pi x)

Passo 6

Voltando à expressão original:
integral x^2sin(pi x),dx = -x^2picos(pi x) + 2pil(xpisin(pi x) + 1pi^2cos(pi x)r) + C

Passo 7

Basta então juntar os termos sobre o mesmo denominador pi^3:
= -pi^2 x^2cos(pi x) + 2pi xsin(pi x) + 2cos(pi x)pi^3 + C = (2-pi^2 x^2)cos(pi x) + 2pi xsin(pi x)pi^3 + C

Resposta

integral x^2sin(pi x),dx = (2-pi^2x^2)cos(pi x)+2pi xsin(pi x)pi^3+C

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