Conclua as igualdades usando integração por partes
integral y^2 ln y d y=y^33 ln y-y^39+C

Passo 1

O problema pede para calcular a integral integral y^2 ln y,dy usando integração por partes. O conteúdo aqui é conhecer a fórmula integral u,dv = u v - integral v,du e identificar as funções u e dv.

Passo 2

Escolhemos u = ln y (pois simplifica ao derivar) e dv = y^2,dy (pois integra facilmente).
Derivando u e integrando dv temos
du = 1y,dy
v = integral y^2,dy = y^33

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral y^2ln y,dy = u,v - integral v,du = y^33ln y - integral y^33cdot 1y,dy

Passo 4

No integral restante, simplificamos y^33cdot 1y = y^23. Então
integral y^23,dy = 13integral y^2,dy = 13cdot y^33 = y^39
Substituindo de volta, chegamos ao resultado final.

Resposta

y^33ln y - y^39 + C

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