Resolva a equação diferencial: 2 x y y^prime=y^2-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é 2xyy' = y^2 - x^2. Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais, mais especificamente lidamos com equações que envolvem derivadas e relações entre funções. Para resolver isso, vamos precisar usar um método chamado substituição de variáveis, que ajuda a simplificar a equação e torná-la mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação:
2xy dydx = y^2 - x^2
Nosso objetivo é encontrar uma função y(x) que satisfaça essa relação. Note que a equação tem termos com y e x misturados. Para simplificar, vamos tentar uma substituição onde v = yx. Isso significa que y = v cdot x.

Passo 3

Agora, precisamos expressar dydx em termos de v e x. Usando a regra do produto para derivadas:
dydx = v + x dvdx

Passo 4

Substituímos y e dydx na equação original:
2x(vx)(v + x dvdx) = (v x)^2 - x^2
Simplificando:
2x cdot v x cdot (v + x dvdx) = v^2 x^2 - x^2
2v x^2 (v + x dvdx) = x^2(v^2 - 1)

Passo 5

Dividimos ambos os lados por 2v x^2 para isolar a derivada:
v + x dvdx = v^2 - 12v
Rearranjando para isolar dvdx:
x dvdx = v^2 - 12v - v
x dvdx = v^2 - 1 - 2v^22v
x dvdx = -v^2 - 12v

Passo 6

Agora, temos uma equação que pode ser separada:
dvdx = -v^2 - 12v x
Reescrevendo:
2v dv-v^2 - 1 = dxx

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados. Começando com o lado esquerdo:
integral 2v-v^2 - 1 dv = integral 1x dx
Fazendo uma substituição no numerador, deixe u = -v^2 - 1, então du = -2v dv. A integral fica:
integral -duu = integral 1x dx
-ln|u| = ln|x| + C
Substituindo u de volta:
-ln|-v^2 - 1| = ln|x| + C
Multiplicando por -1:
ln|-v^2 - 1| = -ln|x| + C'
Onde C' é uma constante.

Passo 8

Atualizando para simplificar:
ln(v^2 + 1) = -ln(x) + C'
Podemos escrever isso como:
ln(v^2 + 1) + ln(x) = C'
Usando propriedades dos logaritmos:
ln(x(v^2 + 1)) = C'
Exponentiando ambos os lados para remover o logaritmo:
x(v^2 + 1) = e^C'
Como e^C' é apenas uma constante, podemos chamá-la de K:
x(v^2 + 1) = K

Passo 9

Lembrando que v = yx, substituímos de volta:
x((yx)^2 + 1) = K
Simplificando:
x(y^2x^2 + 1) = K
y^2x + x = K
Multiplicando ambos os lados por x:
y^2 + x^2 = Kx

Passo 10

Finalmente, isolamos y^2:
y^2 = Kx - x^2
E, se quisermos, podemos resolver para y:
y = raizKx - x^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = raizKx - x^2
onde K é uma constante arbitrária.

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