Resolva a equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais, mais especificamente lidamos com equações que envolvem derivadas e relações entre funções. Para resolver isso, vamos precisar usar um método chamado substituição de variáveis, que ajuda a simplificar a equação e torná-la mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação:
Nosso objetivo é encontrar uma função
que satisfaça essa relação. Note que a equação tem termos com
e
misturados. Para simplificar, vamos tentar uma substituição onde
. Isso significa que
.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
em termos de
e
. Usando a regra do produto para derivadas:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Dividimos ambos os lados por
para isolar a derivada:
Rearranjando para isolar
:
Passo 6
Agora, temos uma equação que pode ser separada:
Reescrevendo:
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados. Começando com o lado esquerdo:
Fazendo uma substituição no numerador, deixe
, então
. A integral fica:
Substituindo
de volta:
Multiplicando por -1:
Onde
é uma constante.
Passo 8
Atualizando para simplificar:
Podemos escrever isso como:
Usando propriedades dos logaritmos:
Exponentiando ambos os lados para remover o logaritmo:
Como
é apenas uma constante, podemos chamá-la de
:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 10
Finalmente, isolamos
:
E, se quisermos, podemos resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.