Conclua sobre a convergência ou divergência da sequência \left\{a^{n}\right\}, nos seguintes casos.
a<-1

Passo 1

O enunciado pede para concluir sobre a convergência ou divergência da sequência \{a^{n}\} quando a<-1.
Informações dadas:
  • a é um número real e satisfaz a<-1.
  • A sequência é \{a^{n}\}_{n=1}^{\infty}, com n\in\mathbb{N}.
  • Objetivo: dizer se \{a^{n}\} converge (tem limite finito), diverge para +\infty ou para -\infty, ou diverge de forma oscilante (sem limite nem infinito).

Passo 2

Primeiro, introduzimos o valor absoluto de a. Como a<-1, temos
|a|>1.
Denotemos r=|a|. Então r>1 e estamos interessados no comportamento de r^{n} quando n\to\infty.
Explicação didática (por que r^{n}\to\infty para r>1): tomar logaritmo natural é uma maneira clara.
  • Como r>1, tem-se \ln r>0.
  • Então \ln(r^{n})=n\ln r. Como n\to\infty e \ln r>0, segue n\ln r\to\infty.
  • Aplicando a função exponencial (que é contínua e crescente), obtemos
r^{n}=\mathrm{e}^{\,n\ln r}\to\mathrm{e}^{\infty}=\infty.
Em palavras simples: potências de uma base maior que 1 crescem sem limite quando o expoente tende a infinito.
(Dica alternativa sem logaritmo: note que r^{n+1}=r\cdot r^{n}>r^{n}, logo a sequência \{r^{n}\} é estritamente crescente; e para qualquer M>0 existe N tal que r^{N}>M — por isso é não limitada superiormente — o que também mostra que tende a \infty.)

Passo 3

Voltando para a (que é negativo): escrevemos
a^{n}=(-1)^{n}\,|a|^{n}=(-1)^{n}r^{n}.
Da conclusão do Passo 2 temos r^{n}\to\infty. Portanto os módulos dos termos da sequência crescem sem limite:
|a^{n}|=r^{n}\to\infty.
Análise dos subíndices pares e ímpares:
  • Para n par, escrevendo n=2k, tem-se
a^{2k}=(-1)^{2k}r^{2k}=r^{2k}\to+\infty.
  • Para n ímpar, escrevendo n=2k+1, tem-se
a^{2k+1}=(-1)^{2k+1}r^{2k+1}=-r^{2k+1}\to-\infty.
Observação importante (como usar isso numa prova): a existência de duas subsequências com limites diferentes (uma que tende a +\infty e outra a -\infty) impede que a sequência original tenha limite finito; e impede também que a sequência tenha limite infinito único (não pode tender simultaneamente a +\infty e a -\infty).

Passo 4

Exemplo numérico rápido para intuir: se a=-2, a sequência é -2,4,-8,16,\dots. Os módulos são 2,4,8,16,\dots (tendem a \infty); os termos de índice par tendem a +\infty e os de índice ímpar tendem a -\infty. Isso ilustra o comportamento geral quando a<-1.

Resposta

A sequência \{a^{n}\} diverge. Especificamente, como |a|>1 tem-se |a^{n}|=|a|^{n}\to\infty; além disso \,a^{n}=(-1)^{n}|a|^{n}, de modo que os termos com n par tendem a +\infty e os com n ímpar tendem a -\infty.

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