Conclua sobre a convergência ou divergência da sequência
, nos seguintes casos.
Passo 1
O enunciado pede para concluir sobre a convergência ou divergência da sequência
quando
.
Informações dadas:
-
é um número real e satisfaz . - A sequência é
, com . - Objetivo: dizer se
converge (tem limite finito), diverge para ou para , ou diverge de forma oscilante (sem limite nem infinito).
Passo 2
Primeiro, introduzimos o valor absoluto de
. Como
, temos
Denotemos
. Então
e estamos interessados no comportamento de
quando
.
Explicação didática (por que
para
): tomar logaritmo natural é uma maneira clara.
- Como
, tem-se . - Então
. Como e , segue . - Aplicando a função exponencial (que é contínua e crescente), obtemos
Em palavras simples: potências de uma base maior que
crescem sem limite quando o expoente tende a infinito.
(Dica alternativa sem logaritmo: note que
, logo a sequência
é estritamente crescente; e para qualquer
existe
tal que
— por isso é não limitada superiormente — o que também mostra que tende a
.)
Passo 3
Voltando para
(que é negativo): escrevemos
Da conclusão do Passo 2 temos
. Portanto os módulos dos termos da sequência crescem sem limite:
Análise dos subíndices pares e ímpares:
- Para
par, escrevendo , tem-se
- Para
ímpar, escrevendo , tem-se
Observação importante (como usar isso numa prova): a existência de duas subsequências com limites diferentes (uma que tende a
e outra a
) impede que a sequência original tenha limite finito; e impede também que a sequência tenha limite infinito único (não pode tender simultaneamente a
e a
).
Passo 4
Exemplo numérico rápido para intuir: se
, a sequência é
. Os módulos são
(tendem a
); os termos de índice par tendem a
e os de índice ímpar tendem a
. Isso ilustra o comportamento geral quando
.
Resposta
A sequência
diverge. Especificamente, como
tem-se
; além disso
, de modo que os termos com
par tendem a
e os com
ímpar tendem a
.