Conclua sobre a convergência ou divergência da sequência
, nos seguintes casos.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
com
e pede que se conclua sobre a convergência ou divergência dessa sequência.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O parâmetro
é um número real maior que , isto é . - A sequência é
.
Passo 2
Definição e objetivo claro (em linguagem direta):
- Dizer que a sequência converge para um número real
significa que, para todo , existe tal que para todo vale . - Dizer que a sequência diverge para
significa que, para todo , existe tal que para todo vale .
Vou mostrar quecresce sem limite superior (fica arbitrariamente grande), o que implica que diverge para .
Passo 3
Escolha do método: é simples e direto mostrar duas propriedades úteis:
- a sequência é estritamente crescente (cada termo é maior que o anterior);
- a sequência é não limitada superiormente (unbounded above), ou seja, para qualquer
podemos encontrar com .
Juntando monotonicidade crescente com o fato de ser não limitada, concluímos que a sequência diverge para. Para provar não-limitabilidade usarei uma desigualdade elementar (desigualdade de Bernoulli), que é direta e apropriada quando .
Passo 4
Prova que a sequência é estritamente crescente:
Para todo tem-se
Para todo
Como
e
, segue que
Portanto
para todo
, isto é, a sequência é estritamente crescente.
Passo 5
Prova que a sequência é não limitada (vai a
) usando Bernoulli: escreva
com
. A desigualdade de Bernoulli diz que, para
e inteiro
,
(Função da prova rápida por indução: para
vale equality. Se
então multiplicando por
obtém-se
, fechando a indução.)
Aplicando isso aqui,
Aplicando isso aqui,
Agora observe que
quando
(porque é uma progressão aritmética com termo linear em
). Mais formalmente: dado qualquer
, basta escolher
então para todo
vale
, e portanto
. Isso mostra que, para todo
, existem
com
. Logo
é não limitada superiormente e tende a
.
Passo 6
Conclusão final e comentário encorajador: a sequência é estritamente crescente e cresce sem limite, portanto diverge para
. Boa notícia: essa é uma propriedade bem robusta — qualquer base
produz potências que explodem. Continua firme nos estudos, você já entendeu a ideia essencial!
Resposta
A sequência diverge; mais precisamente
.