Conclua sobre a convergência ou divergência da sequência \left\{a^{n}\right\}, nos seguintes casos.
a>1

Passo 1

O enunciado dá a sequência \{a^{n}\}_{n=1}^{\infty} com a>1 e pede que se conclua sobre a convergência ou divergência dessa sequência.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O parâmetro a é um número real maior que 1, isto é \,a>1.
  • A sequência é \,a,a^{2},a^{3},\dots.

Passo 2

Definição e objetivo claro (em linguagem direta):
  • Dizer que a sequência converge para um número real L significa que, para todo \varepsilon>0, existe N tal que para todo n\ge N vale |a^{n}-L|<\varepsilon.
  • Dizer que a sequência diverge para +\infty significa que, para todo M>0, existe N tal que para todo n\ge N vale a^{n}>M.
    Vou mostrar que \{a^{n}\} cresce sem limite superior (fica arbitrariamente grande), o que implica que diverge para +\infty.

Passo 3

Escolha do método: é simples e direto mostrar duas propriedades úteis:
  1. a sequência é estritamente crescente (cada termo é maior que o anterior);
  2. a sequência é não limitada superiormente (unbounded above), ou seja, para qualquer M>0 podemos encontrar n com a^{n}>M.
    Juntando monotonicidade crescente com o fato de ser não limitada, concluímos que a sequência diverge para +\infty. Para provar não-limitabilidade usarei uma desigualdade elementar (desigualdade de Bernoulli), que é direta e apropriada quando a>1.

Passo 4

Prova que a sequência é estritamente crescente:
Para todo n\in\mathbb{N} tem-se
a^{n+1}=a\cdot a^{n}.
Como a>1 e a^{n}>0, segue que
a^{n+1}=a\cdot a^{n}>1\cdot a^{n}=a^{n}.
Portanto a^{n+1}>a^{n} para todo n, isto é, a sequência é estritamente crescente.

Passo 5

Prova que a sequência é não limitada (vai a +\infty) usando Bernoulli: escreva a=1+b com b>0. A desigualdade de Bernoulli diz que, para b>-1 e inteiro n\ge1,
(1+b)^{n}\ge 1+nb.
(Função da prova rápida por indução: para n=1 vale equality. Se (1+b)^{n}\ge1+nb então multiplicando por 1+b>0 obtém-se (1+b)^{n+1}\ge(1+nb)(1+b)=1+(n+1)b+nb^{2}\ge1+(n+1)b, fechando a indução.)
Aplicando isso aqui,
a^{n}=(1+b)^{n}\ge 1+nb.
Agora observe que 1+nb\to+\infty quando n\to\infty (porque é uma progressão aritmética com termo linear em n). Mais formalmente: dado qualquer M>0, basta escolher
N=\left\lceil\frac{M-1}{b}\right\rceil,
então para todo n\ge N vale 1+nb\ge 1+Nb>M, e portanto a^{n}\ge 1+nb>M. Isso mostra que, para todo M>0, existem n com a^{n}>M. Logo \{a^{n}\} é não limitada superiormente e tende a +\infty.

Passo 6

Conclusão final e comentário encorajador: a sequência é estritamente crescente e cresce sem limite, portanto diverge para +\infty. Boa notícia: essa é uma propriedade bem robusta — qualquer base a>1 produz potências que explodem. Continua firme nos estudos, você já entendeu a ideia essencial!

Resposta

A sequência diverge; mais precisamente \lim_{n\to\infty}a^{n}=+\infty.

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