Determinar os limites das sequencias, se ele existir. Classifique as sequencias em convergentes e não convergentes \left\{\frac{100}{n}\right\}
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite, se existir, e classificar a sequência \left\{\dfrac{100}{n}\right\}_{n=1}^{\infty}.
Informações dadas:
A sequência é formada pelos termos \dfrac{100}{n} para n=1,2,3,\dots.
Deve-se encontrar \lim_{n\to\infty}\dfrac{100}{n} (se existir) e dizer se a sequência é convergente ou não.
Passo 2
Vamos ganhar intuição calculando os primeiros termos (para ver o comportamento):
a_1=\dfrac{100}{1}=\dfrac{100}{1}.
a_2=\dfrac{100}{2}=\dfrac{100}{2}.
a_3=\dfrac{100}{3}=\dfrac{100}{3}.
Conforme n cresce, o denominador cresce e os termos ficam menores: \dfrac{100}{n} parece aproximar-se de 0. Isso sugere que o limite candidato é 0.
Passo 3
Vou recordar a definição formal de limite de sequência (definição é essencial para prova rigorosa).
Definição (epsilon–N): A sequência \{a_n\} converge para L se, para todo \varepsilon>0, existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N, vale |a_n-L|<\varepsilon.
Aqui queremos mostrar que L=0 satisfaz essa definição para a_n=\dfrac{100}{n}.
Passo 4
Apresento a ideia do teste: dado \varepsilon>0 queremos escolher um N (inteiro) tal que, se n\ge N, então
ou seja, N é o menor inteiro maior ou igual a \dfrac{100}{\varepsilon}. Então N\in\mathbb{N} e N\ge \dfrac{100}{\varepsilon}, portanto N>\dfrac{100}{\varepsilon}-1 e, crucialmente, N>\dfrac{100}{\varepsilon}-1 implica que para todo n\ge N temos n\ge N>\dfrac{100}{\varepsilon}-1, mas a desigualdade útil que usaremos é simplesmente n\ge N\ge 1 e, por n\ge N, segue
Isso prova que, para o \varepsilon dado, existe N tal que |a_n-0|<\varepsilon para todo n\ge N. Portanto \lim_{n\to\infty}\dfrac{100}{n}=0.
(Commentário prático: na prova anterior podia-se escolher também N=\left\lceil\dfrac{100}{\varepsilon}\right\rceil diretamente; a ideia é ter um inteiro N com N>\dfrac{100}{\varepsilon}.)
Passo 6
Interpretação e observações extras (úteis na prova ou em exames):
Monotonicidade: a sequência é estritamente decrescente, pois para todo n\ge1
\dfrac{100}{n+1}<\dfrac{100}{n}.
Limite inferior: todos os termos são positivos, então a sequência é limitada inferiormente por 0.
Teorema monotônico: uma sequência monótona e limitada converge; aqui isso também justifica convergência. O limite possível, por inspeção, é 0 — que foi mostrado formalmente no Passo 5.
Intuição: dividir uma constante por n com n\to\infty faz o quociente cair para 0. Essa é uma família de exemplos clássicos de sequências convergentes.
Passo 7
Conclusão final: a sequência converge e seu limite é 0. Mantenha em mente a prova por epsilon–N para questões em prova — é o caminho rigoroso e direto.
Resposta
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{100}{n}=0
A sequência \left\{\dfrac{100}{n}\right\} é convergente.