Determinar os limites das sequencias, se ele existir. Classifique as sequencias em convergentes e não convergentes
\left\{\frac{100}{n}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite, se existir, e classificar a sequência
\left\{\dfrac{100}{n}\right\}_{n=1}^{\infty}.
Informações dadas:
  • A sequência é formada pelos termos \dfrac{100}{n} para n=1,2,3,\dots.
  • Deve-se encontrar \lim_{n\to\infty}\dfrac{100}{n} (se existir) e dizer se a sequência é convergente ou não.

Passo 2

Vamos ganhar intuição calculando os primeiros termos (para ver o comportamento):
  • a_1=\dfrac{100}{1}=\dfrac{100}{1}.
  • a_2=\dfrac{100}{2}=\dfrac{100}{2}.
  • a_3=\dfrac{100}{3}=\dfrac{100}{3}.
  • Conforme n cresce, o denominador cresce e os termos ficam menores: \dfrac{100}{n} parece aproximar-se de 0. Isso sugere que o limite candidato é 0.

Passo 3

Vou recordar a definição formal de limite de sequência (definição é essencial para prova rigorosa).
Definição (epsilon– N): A sequência \{a_n\} converge para L se, para todo \varepsilon>0, existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N, vale |a_n-L|<\varepsilon.
Aqui queremos mostrar que L=0 satisfaz essa definição para a_n=\dfrac{100}{n}.

Passo 4

Apresento a ideia do teste: dado \varepsilon>0 queremos escolher um N (inteiro) tal que, se n\ge N, então
\left|\dfrac{100}{n}-0\right|=\dfrac{100}{n}<\varepsilon.
Resolvendo \dfrac{100}{n}<\varepsilon para n obtemos n>\dfrac{100}{\varepsilon}. Logo qualquer inteiro N maior que \dfrac{100}{\varepsilon} funciona.

Passo 5

Prova formal usando epsilon– N:
Seja arbitrário \varepsilon>0. Tome
N=\left\lceil \dfrac{100}{\varepsilon}\right\rceil,
ou seja, N é o menor inteiro maior ou igual a \dfrac{100}{\varepsilon}. Então N\in\mathbb{N} e N\ge \dfrac{100}{\varepsilon}, portanto N>\dfrac{100}{\varepsilon}-1 e, crucialmente, N>\dfrac{100}{\varepsilon}-1 implica que para todo n\ge N temos n\ge N>\dfrac{100}{\varepsilon}-1, mas a desigualdade útil que usaremos é simplesmente n\ge N\ge 1 e, por n\ge N, segue
0<\dfrac{100}{n}\le \dfrac{100}{N}.
Como N\ge \dfrac{100}{\varepsilon}, tem-se
\dfrac{100}{N}\le \varepsilon.
Combinando, para todo n\ge N obtemos
\left|\dfrac{100}{n}-0\right|=\dfrac{100}{n}\le \dfrac{100}{N}\le \varepsilon.
Isso prova que, para o \varepsilon dado, existe N tal que |a_n-0|<\varepsilon para todo n\ge N. Portanto \lim_{n\to\infty}\dfrac{100}{n}=0.
(Commentário prático: na prova anterior podia-se escolher também N=\left\lceil\dfrac{100}{\varepsilon}\right\rceil diretamente; a ideia é ter um inteiro N com N>\dfrac{100}{\varepsilon}.)

Passo 6

Interpretação e observações extras (úteis na prova ou em exames):
  • Monotonicidade: a sequência é estritamente decrescente, pois para todo n\ge1
\dfrac{100}{n+1}<\dfrac{100}{n}.
  • Limite inferior: todos os termos são positivos, então a sequência é limitada inferiormente por 0.
  • Teorema monotônico: uma sequência monótona e limitada converge; aqui isso também justifica convergência. O limite possível, por inspeção, é 0 — que foi mostrado formalmente no Passo 5.
  • Intuição: dividir uma constante por n com n\to\infty faz o quociente cair para 0. Essa é uma família de exemplos clássicos de sequências convergentes.

Passo 7

Conclusão final: a sequência converge e seu limite é 0. Mantenha em mente a prova por epsilon– N para questões em prova — é o caminho rigoroso e direto.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{100}{n}=0
A sequência \left\{\dfrac{100}{n}\right\} é convergente.

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