Conclua sobre a convergência ou divergência da sequência \left\{a^{n}\right\}, nos seguintes casos.
0<a<1

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \{a^{n}\}_{n=1}^{\infty} com 0<a<1. A pergunta é: essa sequência converge ou diverge? Se converge, qual é o valor do limite?

Passo 2

Primeiro, observo que todos os termos são positivos. Para qualquer n\in\mathbb{N},
a>0 \quad\Rightarrow\quad a^{n}>0.
Além disso, a sequência é estritamente decrescente. Para ver isso, compare termos consecutivos:
a^{n+1}=a\cdot a^{n}.
Como a\in(0,1) e a^{n}>0, tem-se a\cdot a^{n}<1\cdot a^{n}=a^{n}. Logo,
a^{n+1}<a^{n}\quad\text{para todo }n.

Passo 3

Temos então que \{a^{n}\} é uma sequência positiva e estritamente decrescente. Em particular ela é limitada inferiormente por 0 (porque todos os termos são positivos). Um resultado simples e muito útil: toda sequência monótona (aqui decrescente) e limitada converge. Intuitivamente: como a sequência sempre cai e nunca vai abaixo de 0, ela acaba aproximando-se de algum valor limite (não pode “cair” indefinidamente sem ultrapassar o limite inferior).
Portanto existe um limite finito
L=\lim_{n\to\infty}a^{n}
com L\ge 0.

Passo 4

Agora usamos a relação entre termos para determinar L. Como a^{n+1}=a\cdot a^{n}, passando ao limite em ambos os lados (multiplicar por uma constante é operação contínua), obtemos
\lim_{n\to\infty}a^{n+1}=a\cdot\lim_{n\to\infty}a^{n}.
Isto é,
L = a\cdot L.
Essa igualdade implica
L - aL = 0 \quad\Rightarrow\quad L(1-a)=0.
Como 1-a>0 (pois a<1), segue que L=0.

Passo 5

Para reforçar, apresento uma prova direta do tipo \varepsilon- N (mais técnica, mas muito clara): seja \varepsilon>0. Queremos a^{n}<\varepsilon. Tomando logaritmo natural (válido porque a\in(0,1) e a^{n}>0) temos
a^{n}<\varepsilon \iff n\ln a < \ln\varepsilon.
Como \ln a<0, ao dividir por \ln a a desigualdade inverte e obtemos
n > \frac{\ln\varepsilon}{\ln a}.
O lado direito é um número real fixo; basta escolher um inteiro N maior que esse valor. Então, para todo n\ge N, a^{n}<\varepsilon. Isso prova que \lim_{n\to\infty}a^{n}=0.

Passo 6

Intuitivamente: quando 0<a<1, cada multiplicação por a “magra” o número — vai ficando menor e menor, aproximando-se de zero. As duas provas acima (monotonia + limite da relação e a prova \varepsilon- N com logaritmos) mostram isso formalmente.

Resposta

Converge para 0

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