Conclua sobre a convergência ou divergência da sequência
, nos seguintes casos.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
com
. A pergunta é: essa sequência converge ou diverge? Se converge, qual é o valor do limite?
Passo 2
Primeiro, observo que todos os termos são positivos. Para qualquer
,
Além disso, a sequência é estritamente decrescente. Para ver isso, compare termos consecutivos:
Como
e
, tem-se
. Logo,
Passo 3
Temos então que
é uma sequência positiva e estritamente decrescente. Em particular ela é limitada inferiormente por
(porque todos os termos são positivos). Um resultado simples e muito útil: toda sequência monótona (aqui decrescente) e limitada converge. Intuitivamente: como a sequência sempre cai e nunca vai abaixo de
, ela acaba aproximando-se de algum valor limite (não pode “cair” indefinidamente sem ultrapassar o limite inferior).
Portanto existe um limite finito
com
.
Passo 4
Agora usamos a relação entre termos para determinar
. Como
, passando ao limite em ambos os lados (multiplicar por uma constante é operação contínua), obtemos
Isto é,
Essa igualdade implica
Como
(pois
), segue que
.
Passo 5
Para reforçar, apresento uma prova direta do tipo
-
(mais técnica, mas muito clara): seja
. Queremos
. Tomando logaritmo natural (válido porque
e
) temos
Como
, ao dividir por
a desigualdade inverte e obtemos
O lado direito é um número real fixo; basta escolher um inteiro
maior que esse valor. Então, para todo
,
. Isso prova que
.
Passo 6
Intuitivamente: quando
, cada multiplicação por
“magra” o número — vai ficando menor e menor, aproximando-se de zero. As duas provas acima (monotonia + limite da relação e a prova
-
com logaritmos) mostram isso formalmente.
Resposta
Converge para