Conclua sobre a convergência das séries aplicando um critério adequado (raiz, razão, integral):
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n} n!n!}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede para concluir sobre a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n}\,n!\,n!}{(2n)!}.
Informações relevantes dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{4^{n} (n!)^2}{(2n)!}.
  • A pergunta é apenas se a série converge ou diverge (ou seja, determinar convergência absoluta/condicional não é necessária aqui, pois os termos são positivos).

Passo 2

Lembrete importante (teste obrigatório antes de qualquer outro): um critério necessário para que uma série \sum a_n converja é que o termo geral tenda a zero:
\text{Se }\sum a_n\text{ converge, então }\lim_{n\to\infty} a_n = 0.ã
Esse é o chamado teste do termo geral (ou teste da divergência). Se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe), a série diverge imediatamente. Vou aplicar esse teste aqui.

Passo 3

Reescrevemos a_n de uma forma que facilite comparações. Note que a combinação binomial central é
\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}.
Assim podemos inverter essa relação para escrever
\frac{(n!)^2}{(2n)!} = \frac{1}{\binom{2n}{n}}.
Portanto o termo a_n pode ser escrito como
a_n = \frac{4^{n} (n!)^2}{(2n)!} = \frac{4^{n}}{\binom{2n}{n}}.

Passo 4

Agora vamos obter uma desigualdade simples e rigorosa para \binom{2n}{n}. Recorde que a soma de todos os coeficientes binomiais para um dado 2n é
\sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} = 2^{2n} = 4^{n}.
Como todos os termos da soma são não negativos, qualquer termo individual é menor ou igual à soma inteira. Em particular,
\binom{2n}{n} \le \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} = 4^{n}.

Passo 5

Usando a desigualdade anterior em a_n=\dfrac{4^{n}}{\binom{2n}{n}}, obtemos
a_n = \frac{4^{n}}{\binom{2n}{n}} \ge \frac{4^{n}}{4^{n}} = 1.
Logo, para todo n\ge1 vale a_n \ge 1.

Passo 6

Como a_n \ge 1 para todo n, em particular \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (na verdade a sequência dos termos não tende para zero; cresce). Pelo teste do termo geral, se os termos não tendem a zero a série não pode convergir. Portanto a série diverge.

Passo 7

Comentário extra (didático e opcional): podemos também calcular a razão entre termos consecutivos para entender o comportamento:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{4^{n+1}((n+1)!)^2/(2n+2)!}{4^{n}(n!)^2/(2n)!} = 4\cdot\frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = \frac{2n+2}{2n+1}=1+\frac{1}{2n+1}>1.
Ou seja, (a_n) é estritamente crescente e, combinado com a desigualdade anterior, confirma que os termos não só não vão a zero como crescem (de fato a_n\to\infty). Isso reforça a conclusão de divergência. Observação: o teste da razão clássico (com limite da razão) daria limite 1 e seria inconclusivo para decidir convergência; por isso usamos o teste do termo geral e a desigualdade com \binom{2n}{n}.

Resposta

A série diverge.

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