Conclua sobre a convergência das séries aplicando um critério adequado (raiz, razão, integral):
Passo 1
O enunciado pede para concluir sobre a convergência da série
Informações relevantes dadas:
- O termo geral da série é
. - A pergunta é apenas se a série converge ou diverge (ou seja, determinar convergência absoluta/condicional não é necessária aqui, pois os termos são positivos).
Passo 2
Lembrete importante (teste obrigatório antes de qualquer outro): um critério necessário para que uma série
converja é que o termo geral tenda a zero:
Esse é o chamado teste do termo geral (ou teste da divergência). Se
(ou não existe), a série diverge imediatamente. Vou aplicar esse teste aqui.
Passo 3
Reescrevemos
de uma forma que facilite comparações. Note que a combinação binomial central é
Assim podemos inverter essa relação para escrever
Portanto o termo
pode ser escrito como
Passo 4
Agora vamos obter uma desigualdade simples e rigorosa para
. Recorde que a soma de todos os coeficientes binomiais para um dado
é
Como todos os termos da soma são não negativos, qualquer termo individual é menor ou igual à soma inteira. Em particular,
Passo 5
Usando a desigualdade anterior em
, obtemos
Logo, para todo
vale
.
Passo 6
Como
para todo
, em particular
(na verdade a sequência dos termos não tende para zero; cresce). Pelo teste do termo geral, se os termos não tendem a zero a série não pode convergir. Portanto a série diverge.
Passo 7
Comentário extra (didático e opcional): podemos também calcular a razão entre termos consecutivos para entender o comportamento:
Ou seja,
é estritamente crescente e, combinado com a desigualdade anterior, confirma que os termos não só não vão a zero como crescem (de fato
). Isso reforça a conclusão de divergência. Observação: o teste da razão clássico (com limite da razão) daria limite
e seria inconclusivo para decidir convergência; por isso usamos o teste do termo geral e a desigualdade com
.
Resposta
A série diverge.