Conclua sobre a convergência das séries aplicando o critério da integral:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para concluir sobre a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}.
Informações dadas:
  • Os termos gerais são a_{n}=\dfrac{1}{n^{2}} para n=1,2,\dots.
  • A instrução é usar o critério da integral (ou teste da integral) para decidir convergência.

Passo 2

Enunciado do critério da integral (explicado de forma simples):
Se f:(1,\infty)\to\mathbb{R} é uma função positiva, contínua e monotonicamente decrescente e a_{n}=f(n), então a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}
converge se, e somente se,
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
converge (ou seja, é finita). Aqui:
  • f(x) é a versão contínua do termo da série;
  • a condição “positiva, contínua e decrescente” garante que somas parciais e integrais se comportam de maneira comparável.

Passo 3

Escolha da função para aplicar o critério:
Defina
f(x)=\frac{1}{x^{2}}.
Verificações necessárias (cada uma com explicação curta):
  • Positividade: para todo x\ge1 tem-se f(x)=1/x^{2}>0.
  • Continuidade: f(x)=x^{-2} é contínua para x>0, logo para x\ge1 é contínua.
  • Monotonicidade decrescente: calcule a derivada
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr)=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^{3}}.
Como para x\ge1 temos x^{3}>0, segue f'(x)<0, portanto f é decrescente em [1,\infty).
Assim, todas as hipóteses do critério da integral estão satisfeitas e podemos aplicá-lo.

Passo 4

Cálculo da integral imprópria associada:
Calcule
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx.
Primeiro encontre a primitiva: para x^{-2} a primitiva é -x^{-1}, isto é,
\int x^{-2}\,dx=-x^{-1}+C=-\frac{1}{x}+C.
Agora a integral imprópria:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{2}}\,dx =\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b} =\lim_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{b}+ \frac{1}{1}\right).
Como \lim_{b\to\infty}\frac{1}{b}=0, o limite vale
0+1=1.
Portanto a integral converge e seu valor é 1.

Passo 5

Conclusão pelo critério da integral:
Pelo critério da integral, como \int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x^{2}}\,dx converge (vale 1) e a_{n}=f(n) com f positiva, contínua e decrescente, segue que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge.
Observação amigável: por ser uma série de termos positivos, “converge” já implica convergência absoluta. (Se quiser, mais adiante pode-se mostrar que a soma exata é \pi^{2}/6, mas isso exige outros métodos.)

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} converge.

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