Conclua sobre a convergência das séries aplicando o critério da integral:
Passo 1
O enunciado pede para concluir sobre a convergência da série
Informações dadas:
- Os termos gerais são
para . - A instrução é usar o critério da integral (ou teste da integral) para decidir convergência.
Passo 2
Enunciado do critério da integral (explicado de forma simples):
Se é uma função positiva, contínua e monotonicamente decrescente e
, então a série
Se
converge se, e somente se,
converge (ou seja, é finita). Aqui:
-
é a versão contínua do termo da série; - a condição “positiva, contínua e decrescente” garante que somas parciais e integrais se comportam de maneira comparável.
Passo 3
Escolha da função para aplicar o critério:
Defina
Defina
Verificações necessárias (cada uma com explicação curta):
- Positividade: para todo
tem-se . - Continuidade:
é contínua para , logo para é contínua. - Monotonicidade decrescente: calcule a derivada
Como para
temos
, segue
, portanto
é decrescente em
.
Assim, todas as hipóteses do critério da integral estão satisfeitas e podemos aplicá-lo.
Passo 4
Cálculo da integral imprópria associada:
Calcule
Calcule
Primeiro encontre a primitiva: para
a primitiva é
, isto é,
Agora a integral imprópria:
Como
, o limite vale
Portanto a integral converge e seu valor é
.
Passo 5
Conclusão pelo critério da integral:
Pelo critério da integral, como converge (vale
) e
com
positiva, contínua e decrescente, segue que a série
Pelo critério da integral, como
converge.
Observação amigável: por ser uma série de termos positivos, “converge” já implica convergência absoluta. (Se quiser, mais adiante pode-se mostrar que a soma exata é
, mas isso exige outros métodos.)
Resposta
A série
converge.