Conclua sobre a convergência das séries aplicando um critério adequado (raiz, razão, integral):
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}+5}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine se a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}+5}{3^{n}}
converge ou diverge, aplicando um critério adequado (raiz, razão ou integral). Informações dadas que importam:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{2^{n}+5}{3^{n}}.
  • Os termos são positivos para todo n\ge0.
  • A série começa em n=0.

Passo 2

Escolho usar o critério da raiz (testa da raiz) porque os termos têm potências 2^{n} e 3^{n}: ao tirar a raiz n-ésima a expressão simplifica muito e fica fácil ver o comportamento geométrico. Esse critério costuma ser mais direto que o da razão quando aparecem potências assim.

Passo 3

Lembrete do critério da raiz (explicado de forma simples): para uma série \sum a_n (com a_n reais ou complexos), define-se
L=\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}.
As regras são:
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Intuição rápida: |a_n|^{1/n} mede a “taxa geométrica” de decaimento de a_n. Se essa taxa é menor que 1, os termos caem geometricamente e a soma converge.

Passo 4

Calculo a raiz n-ésima do termo geral. Escrevo
a_n^{1/n}=\left(\frac{2^{n}+5}{3^{n}}\right)^{1/n}=\frac{(2^{n}+5)^{1/n}}{3}.
Agora fatoro 2^{n} dentro da raiz para ver o comportamento:
(2^{n}+5)^{1/n}=\bigl(2^{n}(1+5\cdot 2^{-n})\bigr)^{1/n}=2\,(1+5\cdot 2^{-n})^{1/n}.
Portanto
a_n^{1/n}=\frac{2}{3}\,(1+5\cdot 2^{-n})^{1/n}.

Passo 5

Avalio o limite da parte que sobra:
  • Observação: 5\cdot 2^{-n}\to0 quando n\to\infty. Para uma sequência \varepsilon_n\to0 vale (1+\varepsilon_n)^{1/n}\to1, porque \ln(1+\varepsilon_n)/n\to0. Assim
\lim_{n\to\infty}(1+5\cdot 2^{-n})^{1/n}=1.
Logo
\lim_{n\to\infty} a_n^{1/n}=\frac{2}{3}\cdot 1=\frac{2}{3}.

Passo 6

Aplico o critério da raiz: o limite L=\dfrac{2}{3} satisfaz L<1. Portanto a série converge absolutamente, e em particular converge.

Passo 7

Comentário prático extra (útil na prova): a soma pode ser obtida reconhecendo que a série é soma de duas séries geométricas. De fato
\frac{2^{n}+5}{3^{n}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}+5\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.
Como \sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\dfrac{1}{1-r} para |r|<1, temos
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=\frac{1}{1-\tfrac{2}{3}}=3, \qquad \sum_{n=0}^{\infty}5\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=5\cdot\frac{1}{1-\tfrac{1}{3}}=5\cdot\frac{3}{2}=\frac{15}{2}.
Somando,
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}+5}{3^{n}}=3+\frac{15}{2}=\frac{21}{2}.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).
A soma é \dfrac{21}{2}.

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