Conclua sobre a convergência das séries aplicando um critério adequado (raiz, razão, integral):
Passo 1
O enunciado pede que eu determine se a série
converge ou diverge, aplicando um critério adequado (raiz, razão ou integral). Informações dadas que importam:
- O termo geral é
. - Os termos são positivos para todo
. - A série começa em
.
Passo 2
Escolho usar o critério da raiz (testa da raiz) porque os termos têm potências
e
: ao tirar a raiz
-ésima a expressão simplifica muito e fica fácil ver o comportamento geométrico. Esse critério costuma ser mais direto que o da razão quando aparecem potências assim.
Passo 3
Lembrete do critério da raiz (explicado de forma simples): para uma série
(com
reais ou complexos), define-se
As regras são:
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Intuição rápida:mede a “taxa geométrica” de decaimento de . Se essa taxa é menor que 1, os termos caem geometricamente e a soma converge.
Passo 4
Calculo a raiz
-ésima do termo geral. Escrevo
Agora fatoro
dentro da raiz para ver o comportamento:
Portanto
Passo 5
Avalio o limite da parte que sobra:
- Observação:
quando . Para uma sequência vale , porque . Assim
Logo
Passo 6
Aplico o critério da raiz: o limite
satisfaz
. Portanto a série converge absolutamente, e em particular converge.
Passo 7
Comentário prático extra (útil na prova): a soma pode ser obtida reconhecendo que a série é soma de duas séries geométricas. De fato
Como
para
, temos
Somando,
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge).
A soma é .
A soma é