Para concluir, prove que no efeito Compton é impossível que o elétron absorva totalmente a energia do fóton, bem diferente do que acontece com os fótons da Luminescência, do efeito Raman e do efeito fotoelétrico. Dica: use os princípios de conservação da energia e momento e chegue ao resultado 2 E_{f \text { óton }} m_{e} c^{2}=0ó e, a partir deste, faça a conclusão para a prova solicitada.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no efeito Compton, um elétron livre não pode absorver por completo a energia de um fóton. O conteúdo principal é o da mecânica relativística: conservação de energia e momento relacionando fóton e elétron livre, junto com a relação de dispersão relativística do elétron

Passo 2

Suponha que o elétron absorva totalmente o fóton. Então, após a interação:
  1. o fóton desaparece,
  2. o elétron passa a ter energia total E_e e momento \vec p_e.
Pela conservação da energia:
E_{\text{fóton}} + m_e c^2 = E_e.ó
Pela conservação do momento (vetorial):
\vec p_{\text{fóton}} = \vec p_e.ó
Como para o fóton vale p_{\text{fóton}} = E_{\text{fóton}}/cóó, temos também
p_e = \frac{E_{\text{fóton}}}{c}.ó

Passo 3

O elétron, sendo partícula relativística, satisfaz a relação de dispersão
E_e^2 = (p_e c)^2 + m_e^2 c^4.
Substituindo E_e = E_{\text{fóton}} + m_e c^2ó e p_e c = E_{\text{fóton}}ó, obtemos
\bigl(E_{\text{fóton}} + m_e c^2\bigr)^2 \;=\; E_{\text{fóton}}^2 + m_e^2 c^4.óó

Passo 4

Expanda o quadrado no lado esquerdo:
E_{\text{fóton}}^2 \;+\; 2\,E_{\text{fóton}}\,m_e c^2 \;+\; m_e^2 c^4 \;=\; E_{\text{fóton}}^2 + m_e^2 c^4.óóó
Agora cancele E_{\text{fóton}}^2ó e m_e^2 c^4 em ambos os lados, restando
2\,E_{\text{fóton}}\,m_e c^2 = 0.ó

Passo 5

Como m_e\neq0 e c\neq0, a única forma de satisfazer essa igualdade é
E_{\text{fóton}} = 0.ó
Isso significa que só haveria solução se não existisse fóton (energia nula), o que é absurdo para um fóton real.

Resposta

Não existe possibilidade de o elétron absorver totalmente a energia do fóton no efeito Compton, pois isso levaria à condição E_{\text{fóton}}=0ó, incompatível com um fóton real.

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