Usando os princípios da conservação do momento linear e da energia, encontre a expressão matemática para a mudança do comprimento de onda da luz espalhada inelasticamente pela radiação que incide sobre um elétron livre em repouso.

Passo 1

O problema descreve o espalhamento inelástico de um fóton por um elétron livre inicialmente em repouso (espalhamento de Compton). O que queremos é a variação de comprimento de onda do fóton após o choque, em função do ângulo de espalhamento \theta. Para isso vamos usar conservação da energia relativística e conservação do momento linear.

Passo 2

Vamos chamar de
E = \frac{h\,c}{\lambda}
a energia inicial do fóton,
E' = \frac{h\,c}{\lambda'}
a energia do fóton espalhado (saindo com comprimento de onda \lambda' sob o ângulo \theta), e
m_e c^2
a energia de repouso do elétron (massa m_e). O momento do fóton é p = E/c = h/\lambda e, após o choque, p' = h/\lambda'. O elétron adquire momento \mathbf{p}_e e energia total
E_e = \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2}\,.

Passo 3

Escrevemos conservação da energia:
E + m_e c^2 = E' + E_e.
E conservação do momento vetorial (tomando o fóton incidente ao longo de x e o espalhado em \theta):
\mathbf{p} = \mathbf{p}' + \mathbf{p}_e.
Elevando ao quadrado (produto escalar) e usando p^2 = (E/c)^2, obtemos
p^2 + p'^2 - 2\,p\,p'\cos\theta = p_e^2.

Passo 4

Multiplicamos essa relação por c^2 e substituímos p^2 c^2=E^2, p'^2c^2=E'^2, p_e^2c^2=E_e^2 - m_e^2c^4. Assim:
E^2 + E'^2 - 2EE'\cos\theta = E_e^2 - m_e^2c^4.
Por outro lado, da conservação de energia E_e = E + m_e c^2 - E'. Elevando ao quadrado:
E_e^2 = (E + m_e c^2 - E')^2 = E^2 + m_e^2c^4 + E'^2 + 2E\,m_e c^2 -2E E' -2E' m_e c^2.
Substituindo em E^2 + E'^2 - 2EE'\cos\theta = E_e^2 - m_e^2c^4 e cancelando termos iguais, sobra apenas um termo em EE' que depende de \cos\theta.

Passo 5

Fazendo as simplificações algébricas, chega-se a
-2EE'\cos\theta = -2EE' -2E\,m_e c^2 +2E' m_e c^2
ou
E' - E = \frac{E E'}{m_e c^2}(1 - \cos\theta).
Substituindo E = h c/\lambda e E' = h c/\lambda' e isolando \lambda' - \lambda, obtemos a variação de comprimento de onda:

Resposta

\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}\,(1 - \cos\theta).

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