Usando os princípios da conservação do momento linear e da energia, encontre a expressão matemática para a mudança do comprimento de onda da luz espalhada inelasticamente pela radiação que incide sobre um elétron livre em repouso.
Passo 1
O problema descreve o espalhamento inelástico de um fóton por um elétron livre inicialmente em repouso (espalhamento de Compton). O que queremos é a variação de comprimento de onda do fóton após o choque, em função do ângulo de espalhamento
. Para isso vamos usar conservação da energia relativística e conservação do momento linear.
Passo 2
Vamos chamar de
a energia inicial do fóton,
a energia do fóton espalhado (saindo com comprimento de onda
sob o ângulo
), e
a energia de repouso do elétron (massa
). O momento do fóton é
e, após o choque,
. O elétron adquire momento
e energia total
Passo 3
Escrevemos conservação da energia:
E conservação do momento vetorial (tomando o fóton incidente ao longo de
e o espalhado em
):
Elevando ao quadrado (produto escalar) e usando
, obtemos
Passo 4
Multiplicamos essa relação por
e substituímos
,
,
. Assim:
Por outro lado, da conservação de energia
. Elevando ao quadrado:
Substituindo em
e cancelando termos iguais, sobra apenas um termo em
que depende de
.
Passo 5
Fazendo as simplificações algébricas, chega-se a
ou
Substituindo
e
e isolando
, obtemos a variação de comprimento de onda: