1. Em um concurso, as notas finais dos candidatos foram as seguintes:
Número de candidatos Nota final
7 6,0
2 7,0
1 1
Com base na tabela,-é correto afirmar que a variância das notas finais dos candidatos foi de
a) 0,75 .
b) 0,65 .
c) \sqrt{0,65}.
d) \sqrt{0,85}.
e) 0,85 .

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com as notas finais e o número de candidatos — peguei esses dados da tabela enviada:
  • 7 candidatos com nota 6,0.
  • 2 candidatos com nota 7,0.
  • 1 candidato com nota 1 (aqui há uma incerteza: o valor na tabela parece ser 1, mas se for realmente 1 nenhum dos itens de resposta bate com o cálculo; por isso vou verificar essa possibilidade e a hipótese alternativa em que esse último valor seja 9, que é um caso que costuma ocorrer em erros de digitação).
O que o enunciado pede: determinar a variância das notas finais dos candidatos e escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Vamos lembrar a definição prática que usaremos. Para um conjunto de valores com frequências, a variância populacional é dada por
\sigma^{2}=\frac{1}{N}\sum_{i} n_{i}\bigl(x_{i}-\mu\bigr)^{2},
onde:
  • N é o total de observações (soma das frequências);
  • n_{i} é a frequência do valor x_{i};
  • x_{i} são os valores observados (as notas);
  • \mu é a média aritmética dos valores, calculada por
\mu=\frac{1}{N}\sum_{i} n_{i}x_{i}.
Existe também uma fórmula alternativa de cálculo (muito prática para dados por classes/frequências):
\sigma^{2}=\frac{1}{N}\sum_{i} n_{i}x_{i}^{2}-\mu^{2}.
Nessa fórmula, \frac{1}{N}\sum n_{i}x_{i}^{2} é a esperança de X^{2} e \mu^{2} é o quadrado da média.

Passo 3

Primeiro vamos calcular usando exatamente os números que aparecem na tabela se interpretarmos o último valor como 1.
Calcular N e \mu:
N=7+2+1=10.
\mu=\frac{7\cdot 6,0 + 2\cdot 7,0 + 1\cdot 1}{10}=\frac{42+14+1}{10}=\frac{57}{10}=5,7.
Calcular \frac{1}{N}\sum n_{i}x_{i}^{2}:
\frac{1}{10}\bigl(7\cdot 6{,}0^{2} + 2\cdot 7{,}0^{2} + 1\cdot 1^{2}\bigr) =\frac{1}{10}\bigl(7\cdot 36 + 2\cdot 49 + 1\bigr) =\frac{252+98+1}{10}=\frac{351}{10}=35{,}1.
Agora a variância:
\sigma^{2}=35{,}1-5{,}7^{2}=35{,}1-32{,}49=2{,}61.
Como nenhuma das alternativas ( 0,75; 0,65; \sqrt{0,65}; \sqrt{0,85}; 0,85) é igual a 2{,}61, isso indica que a interpretação literal com o último valor igual a 1 não corresponde às alternativas — ou houve um equívoco no enunciado/tabela.

Passo 4

Agora vamos testar a hipótese alternativa que é plausível: supondo que o último valor seja 9 (em vez de 1). Esta hipótese é razoável porque com 9 a variância fica pequena e próxima das alternativas apresentadas.
Repetindo os cálculos com o terceiro valor igual a 9:
Calcular N e \mu:
N=7+2+1=10.
\mu=\frac{7\cdot 6{,}0 + 2\cdot 7{,}0 + 1\cdot 9}{10}=\frac{42+14+9}{10}=\frac{65}{10}=6{,}5.
Calcular \frac{1}{N}\sum n_{i}x_{i}^{2}:
\frac{1}{10}\bigl(7\cdot 6{,}0^{2} + 2\cdot 7{,}0^{2} + 1\cdot 9^{2}\bigr) =\frac{1}{10}\bigl(7\cdot 36 + 2\cdot 49 + 81\bigr) =\frac{252+98+81}{10}=\frac{431}{10}=43{,}1.
Agora a variância:
\sigma^{2}=43{,}1-6{,}5^{2}=43{,}1-42{,}25=0{,}85.
Esse valor coincide exatamente com a alternativa e) 0,85.

Passo 5

Interpretação final: com a leitura literal que dá o terceiro valor igual a 1 obtém-se \sigma^{2}=2{,}61, que não aparece entre as alternativas (logo há incompatibilidade). Assumindo que o terceiro valor era na verdade 9 (uma leitura/colagem comum em tabelas relativas a notas), a variância calculada é \sigma^{2}=0{,}85, que corresponde à alternativa e).
Dica prática para prova: quando os dados vierem em frequências, o caminho mais rápido é usar a fórmula
\sigma^{2}=\frac{1}{N}\sum n_{i}x_{i}^{2}-\mu^{2},
porque evita calcular desvios individuais e simplifica a conta — calcule primeiro \sum n_{i}x_{i} (para \mu) e \sum n_{i}x_{i}^{2} e aplique a fórmula.

Resposta

\text{e) }0,85

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