Os números 4 (quatro), 5 (cinco), 7 (sete) e 8 (oito) representam as notas de quatro alunos em um teste. O desvio padrão desse conjunto de notas é um número que pertence ao intervalo
a) (0,1).
b) (1,2).
c) (2,3).
d) (3,4).
e) (4,5).

Passo 1

O enunciado dá as quatro notas: 4, 5, 7 e 8.
Pergunta: o desvio padrão desse conjunto de notas pertence a qual dos intervalos indicados:
(a) (0,1), (b) (1,2), (c) (2,3), (d) (3,4), (e) (4,5).

Passo 2

Decidir qual definição de desvio padrão usar. O enunciado fala do desvio padrão “desse conjunto de notas” e fornece todas as notas dos quatro alunos (ou seja, temos todos os dados do conjunto). Nesses casos é natural usar o desvio padrão da população, cuja fórmula usa o denominador N (não N-1). Vou usar essa definição aqui porque o conjunto é completo.

Passo 3

Apresentar a fórmula e explicar o significado de cada símbolo. A fórmula do desvio padrão populacional é
\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\big(x_i-\mu\big)^2},
onde:
  • N é o número total de elementos do conjunto (aqui N=4);
  • x_i são os valores individuais (aqui x_1=4,\;x_2=5,\;x_3=7,\;x_4=8);
  • \mu é a média aritmética do conjunto, definida por \displaystyle \mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i;
  • \sigma é o desvio padrão populacional, que mede, em média, quão longe os valores ficam da média (em unidades das notas).

Passo 4

Calcular a média \mu. Soma das notas:
4+5+7+8=24.
Como N=4,
\mu=\frac{24}{4}=6.
Interpretação: a média das notas é \mu=6.

Passo 5

Calcular as diferenças em relação à média e seus quadrados. Para cada nota x_i:
x_1=4:\quad x_1-\mu=4-6=-2,\quad (x_1-\mu)^2=4.
x_2=5:\quad x_2-\mu=5-6=-1,\quad (x_2-\mu)^2=1.
x_3=7:\quad x_3-\mu=7-6=1,\quad (x_3-\mu)^2=1.
x_4=8:\quad x_4-\mu=8-6=2,\quad (x_4-\mu)^2=4.
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^{4}(x_i-\mu)^2 = 4+1+1+4 = 10.

Passo 6

Calcular a variância populacional \sigma^2 usando N=4:
\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2 = \frac{10}{4} = 2{,}5.
Explicação: a variância é a média dos quadrados das diferenças em relação à média; aqui é 2{,}5.

Passo 7

Calcular o desvio padrão \sigma como a raiz quadrada da variância:
\sigma = \sqrt{2{,}5}.
Estimar \sqrt{2{,}5} sem calculadora: note que
1{,}5^2=2{,}25\quad\text{e}\quad 1{,}6^2=2{,}56.
Como 2{,}25<2{,}5<2{,}56, segue que
1{,}5<\sqrt{2{,}5}<1{,}6.
Fazendo uma interpolação rápida, \sqrt{2{,}5}\approx1{,}58. Assim o desvio padrão está entre 1 e 2.

Passo 8

Concluir qual alternativa é correta: o valor aproximado \sigma\approx1{,}58 pertence ao intervalo (1,2), que corresponde à alternativa (b). Força aí — você já sabe calcular média, variância e desvio padrão passo a passo!

Resposta

(b)

Exercícios relacionados