O problema pede: determinar o valor de k para que os três vetores sejam coplanares.
Dados fornecidos:
\vec{u}=(1,2,0)
\vec{v}=(0,1,1)
\vec{w}=(2,k,1)
O que se quer: o(s) valor(es) de k tais que \vec{u},\vec{v},\vec{w} estejam no mesmo plano (coplanares).
Passo 2
Conceito importante (explicado passo a passo): critério de coplanaridade por produto triple (produto misto).
Três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são coplanares se e somente se existe dependência linear entre eles — isto é, um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros, ou equivalentemente o produto misto é zero.
O produto misto é definido por
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}),
que numericamente é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas dos vetores:
Aqui cada u_i,v_i,w_i são as componentes dos vetores dados. Essa é uma ferramenta prática na prova porque transforma o problema em calcular um determinante e igualá‑lo a zero.]
Passo 3
Aplicando isso aos vetores do enunciado: montamos a matriz com as componentes como linhas (poderia ser também como colunas, o determinante seria o mesmo):
Expliquei: cada termo é o elemento da primeira linha vezes o determinante da submatriz obtida eliminando a linha e coluna daquele elemento, com o sinal alternado +,-,+.]
Passo 4
Calculando os menores:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] k & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot k=1-k,
componente y: k = a\cdot2 + b\cdot1. Substituindo a=2 e b=1 obtém-se k=2\cdot2+1=5.
Essa verificação mostra explicitamente que quando k=5 o vetor \vec{w} fica como combinação linear dos outros (portanto coplanar). Bom pra lembrar na prova: se souber montar a combinação linear, muitas vezes é mais rápido que calcular determinante.