1. Condição de coplanaridade
Determine o valor de k para que os vetores sejam coplanares:
\vec{u}=(1,2,0), \quad \vec{v}=(0,1,1), \quad \vec{w}=(2, k, 1)

Passo 1

O problema pede: determinar o valor de k para que os três vetores sejam coplanares.
Dados fornecidos:
  • \vec{u}=(1,2,0)
  • \vec{v}=(0,1,1)
  • \vec{w}=(2,k,1)
O que se quer: o(s) valor(es) de k tais que \vec{u},\vec{v},\vec{w} estejam no mesmo plano (coplanares).

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo): critério de coplanaridade por produto triple (produto misto).
  • Três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são coplanares se e somente se existe dependência linear entre eles — isto é, um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros, ou equivalentemente o produto misto é zero.
  • O produto misto é definido por
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}),
que numericamente é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas dos vetores:
\det\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3\\[4pt] w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}.
  • Portanto, a condição de coplanaridade é
\det\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3\\[4pt] w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}=0.
Aqui cada u_i,v_i,w_i são as componentes dos vetores dados. Essa é uma ferramenta prática na prova porque transforma o problema em calcular um determinante e igualá‑lo a zero.]

Passo 3

Aplicando isso aos vetores do enunciado: montamos a matriz com as componentes como linhas (poderia ser também como colunas, o determinante seria o mesmo):
\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 2 & k & 1 \end{pmatrix}=0.
Agora calculamos o determinante desenvolvendo pela primeira linha (expansão por cofactores). A fórmula ao expandir pela primeira linha é
\det = 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] k & 1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Expliquei: cada termo é o elemento da primeira linha vezes o determinante da submatriz obtida eliminando a linha e coluna daquele elemento, com o sinal alternado +,-,+.]

Passo 4

Calculando os menores:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] k & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot k=1-k,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot2=-2.
Substituindo na expressão do determinante:
\det = 1\cdot(1-k)-2\cdot(-2)+0 = (1-k)+4 = 5-k.
A condição de coplanaridade exige que esse determinante seja zero, portanto
5-k=0.]

Passo 5

Resolvendo a equação obtida:
5-k=0 \quad\Rightarrow\quad k=5.

Passo 6

Verificação alternativa (útil pra prova — mostra outro caminho): procurar a,b tais que \vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}. Isso dá o sistema por componentes:
  • componente x: 2 = a\cdot1 + b\cdot0 \Rightarrow a=2.
  • componente z: 1 = a\cdot0 + b\cdot1 \Rightarrow b=1.
  • componente y: k = a\cdot2 + b\cdot1. Substituindo a=2 e b=1 obtém-se k=2\cdot2+1=5.
Essa verificação mostra explicitamente que quando k=5 o vetor \vec{w} fica como combinação linear dos outros (portanto coplanar). Bom pra lembrar na prova: se souber montar a combinação linear, muitas vezes é mais rápido que calcular determinante.

Resposta

5

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