1. Volume de um paralelepípedo Sejam\vec{u}=(1,0,2), \quad \vec{v}=(2,1,1), \quad \vec{w}=(0,1,1)$$
a) Calcule \vec{u} \cdot(\vec{v} \times \vec{w}) e verifique se os vetores são coplanares.

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede duas coisas:
  • Calcular \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).
  • Verificar se os vetores são coplanares.
Os vetores fornecidos são:
\vec{u}=(1,0,2),\qquad \vec{v}=(2,1,1),\qquad \vec{w}=(0,1,1).

Passo 2

Vamos lembrar o que é o produto vetorial ( \times) e como calcular em coordenadas.
Se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} é o vetor
\vec{a}\times\vec{b}=\big(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\big).
Significado rápido e útil para a prova:
  • \vec{a}\times\vec{b} é um vetor perpendicular a \vec{a} e a \vec{b}.
  • O módulo \|\vec{a}\times\vec{b}\| é a área do paralelogramo gerado por \vec{a} e \vec{b}.
Não pule passos: vamos aplicar essa fórmula a \vec{v} e \vec{w}.

Passo 3

Calcular \vec{v}\times\vec{w} componente a componente usando \vec{v}=(2,1,1) e \vec{w}=(0,1,1).
Primeira componente:
(\vec{v}\times\vec{w})_1 = v_2 w_3 - v_3 w_2 = 1\cdot1 - 1\cdot1 = 1-1 = 0.
Segunda componente:
(\vec{v}\times\vec{w})_2 = v_3 w_1 - v_1 w_3 = 1\cdot0 - 2\cdot1 = 0-2 = -2.
Terceira componente:
(\vec{v}\times\vec{w})_3 = v_1 w_2 - v_2 w_1 = 2\cdot1 - 1\cdot0 = 2-0 = 2.
Portanto
\vec{v}\times\vec{w}=(0,-2,2).

Passo 4

Agora lembramos o produto escalar (dot product). Se \vec{p}=(p_1,p_2,p_3) e \vec{q}=(q_1,q_2,q_3), então
\vec{p}\cdot\vec{q}=p_1q_1+p_2q_2+p_3q_3.
O produto escalar é um número; geometricamente está ligado ao ângulo entre vetores, mas aqui vamos só usá-lo aritmeticamente.
Queremos \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). Já temos \vec{v}\times\vec{w}=(0,-2,2) e \vec{u}=(1,0,2). Então
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = 1\cdot0 + 0\cdot(-2) + 2\cdot2 = 0 + 0 + 4 = 4.

Passo 5

Interpretação e critério de coplanaridade (a parte importante para a prova):
  • O número \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) chama-se produto misto ou triplo escalar. Ele mede (com sinal) o volume do paralelepípedo formado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
  • Em particular, o volume desse paralelepípedo é |\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})|.
  • Critério de coplanaridade: três vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se e somente se o produto misto for zero (porque então o volume é zero).
Como encontramos \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=4\neq 0, o volume não é zero e logo os vetores não são coplanares. Além disso, o volume do paralelepípedo vale |4|=4.
Dica rápida para a prova: outra forma prática de calcular o produto misto é tomar o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores; o valor do determinante é exatamente \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).

Resposta

\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=4\n
\text{Os vetores não são coplanares.}ãã

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