- Volume de um paralelepípedo Sejam\vec{u}=(1,0,2), \quad \vec{v}=(2,1,1), \quad \vec{w}=(0,1,1)$$
a) Calcule
e verifique se os vetores são coplanares.
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede duas coisas:
- Calcular
. - Verificar se os vetores são coplanares.
Os vetores fornecidos são:
Passo 2
Vamos lembrar o que é o produto vetorial (
) e como calcular em coordenadas.
Se
e
, o produto vetorial
é o vetor
Significado rápido e útil para a prova:
-
é um vetor perpendicular a e a . - O módulo
é a área do paralelogramo gerado por e .
Não pule passos: vamos aplicar essa fórmula a
e
.
Passo 3
Calcular
componente a componente usando
e
.
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Portanto
Passo 4
Agora lembramos o produto escalar (dot product). Se
e
, então
O produto escalar é um número; geometricamente está ligado ao ângulo entre vetores, mas aqui vamos só usá-lo aritmeticamente.
Queremos
. Já temos
e
. Então
Passo 5
Interpretação e critério de coplanaridade (a parte importante para a prova):
- O número
chama-se produto misto ou triplo escalar. Ele mede (com sinal) o volume do paralelepípedo formado por . - Em particular, o volume desse paralelepípedo é
. - Critério de coplanaridade: três vetores em
são coplanares se e somente se o produto misto for zero (porque então o volume é zero).
Como encontramos
, o volume não é zero e logo os vetores não são coplanares. Além disso, o volume do paralelepípedo vale
.
Dica rápida para a prova: outra forma prática de calcular o produto misto é tomar o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores; o valor do determinante é exatamente
.