1. Volume de um paralelepípedo Sejam\vec{u}=(1,0,2), \quad \vec{v}=(2,1,1), \quad \vec{w}=(0,1,1)$$
b) Determine o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

Passo 1

O enunciado dá os três vetores (peguei estes vetores do enunciado):
\vec{u}=(1,0,2),\qquad \vec{v}=(2,1,1),\qquad \vec{w}=(0,1,1).
A pergunta é: determinar o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): o volume do paralelepípedo determinado por três vetores em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto escalar triplo desses vetores. Em símbolos:
\text{Volume} = \left|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\right|.
Aqui:
  • \vec{v}\times\vec{w} é o produto vetorial entre \vec{v} e \vec{w}; ele produz um vetor perpendicular aos dois vetores, cujo módulo é a área do paralelogramo gerado por \vec{v} e \vec{w}.
  • \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) é o produto escalar entre \vec{u} e esse vetor perpendicular; esse escalar dá a “altura” multiplicada pela área da base, mas pode ser negativo dependendo da orientação — por isso tomamos o valor absoluto para obter o volume positivo.

Passo 3

Como calcular o produto vetorial em componentes (fórmula que vou usar). Se
\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\qquad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
então
\vec{a}\times\vec{b}=\big(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\big).
Vou aplicar essa fórmula a \vec{v} e \vec{w}.

Passo 4

Calcular \vec{v}\times\vec{w} componente a componente (mostrando cada conta):
(\vec{v}\times\vec{w})_1 = v_2 w_3 - v_3 w_2 = 1\cdot 1 - 1\cdot 1 = 0,
(\vec{v}\times\vec{w})_2 = v_3 w_1 - v_1 w_3 = 1\cdot 0 - 2\cdot 1 = -2,
(\vec{v}\times\vec{w})_3 = v_1 w_2 - v_2 w_1 = 2\cdot 1 - 1\cdot 0 = 2.
Portanto
\vec{v}\times\vec{w}=(0,-2,2).

Passo 5

Agora calculo o produto escalar \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). Se
\vec{p}=(p_1,p_2,p_3),\quad \vec{q}=(q_1,q_2,q_3),
então \vec{p}\cdot\vec{q}=p_1 q_1 + p_2 q_2 + p_3 q_3. Aplicando a \vec{u}=(1,0,2) e \vec{v}\times\vec{w}=(0,-2,2):
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = 1\cdot 0 + 0\cdot(-2) + 2\cdot 2 = 0 + 0 + 4 = 4.
Esse é o produto escalar triplo (pode ser visto como determinante, explico a seguir como verificação).

Passo 6

Checando por determinante (verificação alternativa): o produto escalar triplo também é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w}. A matriz com linhas dadas pelos vetores é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\[4pt] 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Calculando o determinante por expansão na primeira linha:
\det = 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} - 0\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} + 2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
As contas internas são \det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot1=0 e \det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-1\cdot0=2. Logo
\det = 1\cdot 0 - 0 + 2\cdot 2 = 4,
confirmando o resultado anterior.]

Passo 7

Como volume é o valor absoluto do produto escalar triplo, temos
\text{Volume}=\left|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\right|=|4|=4.
Observação didática rápida: o sinal do produto escalar triplo informa a orientação (se os vetores formam uma base direta ou inversa); para volume sempre usamos o valor positivo.

Resposta

\,4\,

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