A pergunta é: determinar o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores.
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): o volume do paralelepípedo determinado por três vetores em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto escalar triplo desses vetores. Em símbolos:
\vec{v}\times\vec{w} é o produto vetorial entre \vec{v} e \vec{w}; ele produz um vetor perpendicular aos dois vetores, cujo módulo é a área do paralelogramo gerado por \vec{v} e \vec{w}.
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) é o produto escalar entre \vec{u} e esse vetor perpendicular; esse escalar dá a “altura” multiplicada pela área da base, mas pode ser negativo dependendo da orientação — por isso tomamos o valor absoluto para obter o volume positivo.
Passo 3
Como calcular o produto vetorial em componentes (fórmula que vou usar). Se
Esse é o produto escalar triplo (pode ser visto como determinante, explico a seguir como verificação).
Passo 6
Checando por determinante (verificação alternativa): o produto escalar triplo também é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w}. A matriz com linhas dadas pelos vetores é
As contas internas são \det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot1=0 e \det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-1\cdot0=2. Logo
\det = 1\cdot 0 - 0 + 2\cdot 2 = 4,
confirmando o resultado anterior.]
Passo 7
Como volume é o valor absoluto do produto escalar triplo, temos
Observação didática rápida: o sinal do produto escalar triplo informa a orientação (se os vetores formam uma base direta ou inversa); para volume sempre usamos o valor positivo.