Um corpo é lançado verticalmente para cima após consumir todo o combustível, e a única força atuante passa a ser a gravidade. A resistência do ar é desprezível.
a) Determine a altura máxima, em relação à plataforma de lançamento, que o primeiro estágio atinge, acima da plataforma. b) Qual a aceleração do segundo estágio o foguete possui nesse ponto da trajetória? c) Com que velocidade o primeiro estágio deve atingir o solo para que não se deforme ao atingir a plataforma de lançamento?
a) Determine a altura máxima, em relação à plataforma de lançamento, que o primeiro estágio atinge, acima da plataforma. b) Qual a aceleração do segundo estágio o foguete possui nesse ponto da trajetória? c) Com que velocidade o primeiro estágio deve atingir o solo para que não se deforme ao atingir a plataforma de lançamento?
Passo 1
O enunciado pede três coisas (três itens):
a) A altura máxima atingida pelo primeiro estágio, medida a partir da plataforma de lançamento.
b) A aceleração que o segundo estágio (acho que você quis dizer “o primeiro estágio” quando ele chega ao ponto mais alto; mas seguirei o enunciado) possui nesse ponto da trajetória.
c) Com que velocidade o primeiro estágio deve atingir o solo para que não se deforme ao atingir a plataforma de lançamento.
a) A altura máxima atingida pelo primeiro estágio, medida a partir da plataforma de lançamento.
b) A aceleração que o segundo estágio (acho que você quis dizer “o primeiro estágio” quando ele chega ao ponto mais alto; mas seguirei o enunciado) possui nesse ponto da trajetória.
c) Com que velocidade o primeiro estágio deve atingir o solo para que não se deforme ao atingir a plataforma de lançamento.
Informações dadas (explicitadas, porque o enunciado não traz números):
- Após o término do combustível, o corpo (primeiro estágio) sobe verticalmente com uma velocidade inicial que eu vou chamar de
(velocidade no instante de separação/corte de motor, medida em relação à plataforma). Vou tratar como sentido para cima. - A única força atuante é a gravidade; desprezam-se resistência do ar.
- Vou usar
para a aceleração gravitacional (valor positivo; campo aponta para baixo). - Não foram fornecidos massa ou limites de deformação, então, quando necessário, vou expressar a condição “não se deforme” em termos da energia absorvível
da estrutura ou em termos de desaceleração máxima/ distância de parada; assim você tem a fórmula para usar se souber esses valores.
Nenhuma outra informação numérica foi fornecida; portanto as respostas serão expressas simbolicamente em função de
etc.
Passo 2
Determinar a altura máxima: raciocínio físico e equação usada.
Quando o estágio sobe sob ação somente da gravidade, a velocidade vertical no ponto mais alto é zero. Podemos usar a equação de cinemática que relaciona velocidade, aceleração e deslocamento sem depender do tempo:
Quando o estágio sobe sob ação somente da gravidade, a velocidade vertical no ponto mais alto é zero. Podemos usar a equação de cinemática que relaciona velocidade, aceleração e deslocamento sem depender do tempo:
Aqui:
-
é a velocidade no instante final (no topo ), -
é a velocidade inicial (no corte), -
é a aceleração (como a única aceleração é a gravidade apontando para baixo, se escolhemos eixo positivo para cima então ), -
é o deslocamento vertical (altura máxima relativa à plataforma, que chamaremos de ).
Substituindo
e
temos
Isolando
,
e portanto
Explicação didática curta: essa fórmula diz que a energia cinética inicial
foi totalmente convertida em energia potencial
no topo (é exatamente a mesma relação se você preferir usar conservação de energia).
Passo 3
A aceleração no ponto mais alto: conceito e resultado.
A aceleração é a taxa de variação da velocidade; no nosso problema a única força é a gravidade, que fornece uma aceleração constante (para baixo). Isso vale em todos os instantes da trajetória, inclusive no ponto mais alto, mesmo que a velocidade instantânea ali seja zero.
A aceleração é a taxa de variação da velocidade; no nosso problema a única força é a gravidade, que fornece uma aceleração constante
Logo, a aceleração no ponto mais alto tem magnitude
e direção para baixo. Em forma matemática:
ou, apenas a magnitude,
Comentário amigo: mesmo parado por um instante no topo, o estágio “sente” a aceleração da gravidade — por isso logo em seguida ele começa a cair.
Passo 4
Velocidade ao atingir o solo: simetria e conservação de energia.
Com resistência do ar desprezível, a subida e a descida são simétricas. Um jeito direto é usar conservação de energia entre o instante do corte (altura zero com velocidade ) e o instante de impacto no solo (mesma altura zero, velocidade que chamaremos
). A energia potencial inicial e final são iguais (mesma altura), então a energia cinética final tem de ser igual à inicial, isto é
Com resistência do ar desprezível, a subida e a descida são simétricas. Um jeito direto é usar conservação de energia entre o instante do corte (altura zero com velocidade
Cancelando
,
em módulo. Em sinal/ direção, na queda a velocidade é para baixo, então vetorialmente seria
se tomarmos para cima o sentido positivo.
Outra forma (cinemática) é ver que da altura
caindo até o solo a partir do repouso no topo aplicando
retorna
.
Conclusão prática: o estágio retorna ao nível da plataforma com a mesma velocidade (módulo) que tinha no corte.
Passo 5
Condição para não se deformar ao atingir a plataforma: transformar isso em fórmula utilizável.
“Não se deformar” significa, fisicamente, que a energia cinética no momento do impacto deve ser absorvida por mecanismos (amortecimento, estrutura elastoplástica) sem exceder a energia que causa dano permanente. Se a estrutura do estágio pode absorver até de trabalho sem deformação permanente, a condição é:
“Não se deformar” significa, fisicamente, que a energia cinética no momento do impacto deve ser absorvida por mecanismos (amortecimento, estrutura elastoplástica) sem exceder a energia que causa dano permanente. Se a estrutura do estágio pode absorver até
Substituindo
,
Isolando
, a velocidade máxima admissível é
Se, em vez de conhecer
, você souber a desaceleração máxima tolerável
e a distância
sobre a qual essa desaceleração ocorreria (por exemplo, uma almofada de pouso que para o estágio em distância
), a energia absorvida máxima é aproximadamente
(trabalho médio da força), então a condição vira
ou
Observação: se você quiser que o estágio não sofra nenhum dano estrutural (deixe literalmente sem qualquer deformação), então a condição ideal seria
(pouso suave), mas na prática usa-se a comparação de energia/força acima.
Resposta
a)
b) (magnitude
, dirigida para baixo).
c) . Para que o estágio não se deforme é necessário que
, isto é
(ou, se conhecer
e
,
).
b)
c)