Um corpo é lançado verticalmente para cima após consumir todo o combustível, e a única força atuante passa a ser a gravidade. A resistência do ar é desprezível.
a) Determine a altura máxima, em relação à plataforma de lançamento, que o primeiro estágio atinge, acima da plataforma. b) Qual a aceleração do segundo estágio o foguete possui nesse ponto da trajetória? c) Com que velocidade o primeiro estágio deve atingir o solo para que não se deforme ao atingir a plataforma de lançamento?

Passo 1

O enunciado pede três coisas (três itens):
a) A altura máxima atingida pelo primeiro estágio, medida a partir da plataforma de lançamento.
b) A aceleração que o segundo estágio (acho que você quis dizer “o primeiro estágio” quando ele chega ao ponto mais alto; mas seguirei o enunciado) possui nesse ponto da trajetória.
c) Com que velocidade o primeiro estágio deve atingir o solo para que não se deforme ao atingir a plataforma de lançamento.
Informações dadas (explicitadas, porque o enunciado não traz números):
  • Após o término do combustível, o corpo (primeiro estágio) sobe verticalmente com uma velocidade inicial que eu vou chamar de v_0 (velocidade no instante de separação/corte de motor, medida em relação à plataforma). Vou tratar v_0>0 como sentido para cima.
  • A única força atuante é a gravidade; desprezam-se resistência do ar.
  • Vou usar g para a aceleração gravitacional (valor positivo; campo aponta para baixo).
  • Não foram fornecidos massa ou limites de deformação, então, quando necessário, vou expressar a condição “não se deforme” em termos da energia absorvível W_{\max} da estrutura ou em termos de desaceleração máxima/ distância de parada; assim você tem a fórmula para usar se souber esses valores.
Nenhuma outra informação numérica foi fornecida; portanto as respostas serão expressas simbolicamente em função de v_0,\\ g,\\ m,\\ W_{\max}, etc.

Passo 2

Determinar a altura máxima: raciocínio físico e equação usada.
Quando o estágio sobe sob ação somente da gravidade, a velocidade vertical no ponto mais alto é zero. Podemos usar a equação de cinemática que relaciona velocidade, aceleração e deslocamento sem depender do tempo:
v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta y.
Aqui:
  • v é a velocidade no instante final (no topo v=0),
  • v_0 é a velocidade inicial (no corte),
  • a é a aceleração (como a única aceleração é a gravidade apontando para baixo, se escolhemos eixo y positivo para cima então a=-g),
  • \Delta y é o deslocamento vertical (altura máxima relativa à plataforma, que chamaremos de h_{\max}).
Substituindo v=0 e a=-g temos
0 = v_0^2 + 2(-g) h_{\max}.
Isolando h_{\max},
2 g\, h_{\max} = v_0^2
e portanto
h_{\max} = \frac{v_0^2}{2g}.
Explicação didática curta: essa fórmula diz que a energia cinética inicial \tfrac{1}{2}m v_0^2 foi totalmente convertida em energia potencial m g h_{\max} no topo (é exatamente a mesma relação se você preferir usar conservação de energia).

Passo 3

A aceleração no ponto mais alto: conceito e resultado.
A aceleração é a taxa de variação da velocidade; no nosso problema a única força é a gravidade, que fornece uma aceleração constante \vec{a} = -g\,\hat{y} (para baixo). Isso vale em todos os instantes da trajetória, inclusive no ponto mais alto, mesmo que a velocidade instantânea ali seja zero.
Logo, a aceleração no ponto mais alto tem magnitude g e direção para baixo. Em forma matemática:
\vec{a}_{\text{topo}} = -g\,\hat{y},
ou, apenas a magnitude,
|\vec{a}_{\text{topo}}| = g.
Comentário amigo: mesmo parado por um instante no topo, o estágio “sente” a aceleração da gravidade — por isso logo em seguida ele começa a cair.

Passo 4

Velocidade ao atingir o solo: simetria e conservação de energia.
Com resistência do ar desprezível, a subida e a descida são simétricas. Um jeito direto é usar conservação de energia entre o instante do corte (altura zero com velocidade v_0) e o instante de impacto no solo (mesma altura zero, velocidade que chamaremos v_{\text{impact}}). A energia potencial inicial e final são iguais (mesma altura), então a energia cinética final tem de ser igual à inicial, isto é
\frac{1}{2} m v_{\text{impact}}^2 = \frac{1}{2} m v_0^2.
Cancelando \tfrac{1}{2}m,
v_{\text{impact}} = v_0
em módulo. Em sinal/ direção, na queda a velocidade é para baixo, então vetorialmente seria \vec{v}_{\text{impact}} = -v_0\,\hat{y} se tomarmos para cima o sentido positivo.
Outra forma (cinemática) é ver que da altura h_{\max}=\dfrac{v_0^2}{2g} caindo até o solo a partir do repouso no topo aplicando v^2=0+2g h_{\max} retorna v=v_0.
Conclusão prática: o estágio retorna ao nível da plataforma com a mesma velocidade (módulo) que tinha no corte.

Passo 5

Condição para não se deformar ao atingir a plataforma: transformar isso em fórmula utilizável.
“Não se deformar” significa, fisicamente, que a energia cinética no momento do impacto deve ser absorvida por mecanismos (amortecimento, estrutura elastoplástica) sem exceder a energia que causa dano permanente. Se a estrutura do estágio pode absorver até W_{\max} de trabalho sem deformação permanente, a condição é:
\frac{1}{2} m v_{\text{impact}}^2 \le W_{\max}.
Substituindo v_{\text{impact}}=v_0,
\frac{1}{2} m v_0^2 \le W_{\max}.
Isolando v_0, a velocidade máxima admissível é
v_0 \le \sqrt{\frac{2 W_{\max}}{m}}.
Se, em vez de conhecer W_{\max}, você souber a desaceleração máxima tolerável a_{\max} e a distância d sobre a qual essa desaceleração ocorreria (por exemplo, uma almofada de pouso que para o estágio em distância d), a energia absorvida máxima é aproximadamente m a_{\max} d (trabalho médio da força), então a condição vira
\frac{1}{2} m v_0^2 \le m a_{\max} d
ou
v_0 \le \sqrt{2 a_{\max} d}.
Observação: se você quiser que o estágio não sofra nenhum dano estrutural (deixe literalmente sem qualquer deformação), então a condição ideal seria v_{\text{impact}}=0 (pouso suave), mas na prática usa-se a comparação de energia/força acima.

Resposta

a) h_{\max}=\dfrac{v_0^2}{2g}.
b) \vec{a}_{\text{topo}}=-g\,\hat{y} (magnitude g, dirigida para baixo).
c) v_{\text{impact}}=v_0. Para que o estágio não se deforme é necessário que \dfrac{1}{2}m v_0^2\le W_{\max}, isto é v_0\le\sqrt{\dfrac{2W_{\max}}{m}} (ou, se conhecer a_{\max} e d, v_0\le\sqrt{2a_{\max}d}).

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