8 Demonstre que
, onde
é todo o espaço, se os campos forem produzidos exclusivamente por ímãs (isto é, não há correntes de transporte). Será a energia magnética nula?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em todo o espaço
, valendo
quando não há correntes de transporte (apenas ímãs), e perguntar se disso decorre que a energia magnética é nula. Vamos usar conceitos de magnetostática: ausência de correntes livres implica
, e o teorema da divergência aplicado a campos construídos com potenciais vetoriais.
Passo 2
Como
em todo o espaço, existe um potencial vetorial
para
, dado por
Passo 3
Aplique a identidade vetorial
Como
, simplifica-se para
Passo 4
Substituindo
na integral e usando o teorema da divergência,
Passo 5
Escolhendo
como todo o espaço, a superfície
fica no infinito, onde
e
tendem a zero suficientemente rápido. Logo
e portanto
logo
Passo 6
A conclusão de que
quando só há ímãs mostra que esta forma “padrão” de energia magnética não capta a energia interna de magnetização. A energia magnética total de ímãs não é nula: deve‐se usar uma definição em termos de variação de magnetização, por exemplo
ou
que leva em conta corretamente a energia armazenada pela magnetização dos materiais.
Resposta
Não: a integral
realmente vale zero em ausência de correntes livres, mas isso não implica que a energia magnética dos ímãs seja nula. A energia correta inclui a contribuição da magnetização
.