8 Demonstre que \frac{1}{2} \int_{\boldsymbol{v}} \mathbf{H} \cdot \mathbf{B}^{\prime} d \boldsymbol{v}=0, onde V é todo o espaço, se os campos forem produzidos exclusivamente por ímãs (isto é, não há correntes de transporte). Será a energia magnética nula?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em todo o espaço V, valendo
\frac{1}{2}\int_{V}\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}'\,dV = 0
quando não há correntes de transporte (apenas ímãs), e perguntar se disso decorre que a energia magnética é nula. Vamos usar conceitos de magnetostática: ausência de correntes livres implica \nabla\times\mathbf{H}=0, e o teorema da divergência aplicado a campos construídos com potenciais vetoriais.

Passo 2

Como \nabla\times\mathbf{H}=0 em todo o espaço, existe um potencial vetorial \mathbf{A}' para \mathbf{B}', dado por
\mathbf{B}'=\nabla\times\mathbf{A}'.

Passo 3

Aplique a identidade vetorial
\mathbf{H}\cdot(\nabla\times\mathbf{A}') =\nabla\!\cdot(\mathbf{A}'\times\mathbf{H}) -\mathbf{A}'\cdot(\nabla\times\mathbf{H}).
Como \nabla\times\mathbf{H}=0, simplifica-se para
\mathbf{H}\cdot(\nabla\times\mathbf{A}')=\nabla\!\cdot(\mathbf{A}'\times\mathbf{H}).

Passo 4

Substituindo \mathbf{B}'=\nabla\times\mathbf{A}' na integral e usando o teorema da divergência,
\int_{V}\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}'\,dV =\int_{V}\nabla\!\cdot(\mathbf{A}'\times\mathbf{H})\,dV =\oint_{\partial V}(\mathbf{A}'\times\mathbf{H})\cdot d\mathbf{S}.

Passo 5

Escolhendo V como todo o espaço, a superfície \partial V fica no infinito, onde \mathbf{H} e \mathbf{A}' tendem a zero suficientemente rápido. Logo
\oint_{\partial V}(\mathbf{A}'\times\mathbf{H})\cdot d\mathbf{S}=0
e portanto
\int_{V}\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}'\,dV=0,
logo
\frac{1}{2}\int_{V}\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}'\,dV=0.

Passo 6

A conclusão de que \tfrac12\int\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}\,dV=0 quando só há ímãs mostra que esta forma “padrão” de energia magnética não capta a energia interna de magnetização. A energia magnética total de ímãs não é nula: deve‐se usar uma definição em termos de variação de magnetização, por exemplo
U=-\frac{1}{2}\int_{V}\mathbf{M}\cdot\mathbf{B}\,dV
ou
U=\int_{V}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{M},
que leva em conta corretamente a energia armazenada pela magnetização dos materiais.

Resposta

Não: a integral \tfrac12\int\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}'\,dV realmente vale zero em ausência de correntes livres, mas isso não implica que a energia magnética dos ímãs seja nula. A energia correta inclui a contribuição da magnetização \mathbf{M}.

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