O ar condicionado para um centro de processamento de dados é distribuído em um duto regular de alumínio ( \mathrm{k}=200 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) de espessura 0,5 \mathrm{~mm}. A temperatura no ambiente deve ser mantida a 25^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de película é de 8 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{20} \mathrm{C}. Sabendo que a temperatura na superfície interna do duto é 12^{\circ} \mathrm{C}, calcular a espessura do isolante térmico ( \mathrm{k}=0,028 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) a ser usado para que não ocorra condensação na superfície externa do duto isolado, com a segurança de 2^{\circ} \mathrm{C}, considerando que a temperatura de orvalho local é de 19,3^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

Dados do enunciado (vou listar tudo que nos deram, bem claro):
k_{\text{al}}=200\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot ^\circ C)},\quad e_{\text{al}}=0{,}5\\ \text{mm}=0{,}0005\\ \mathrm{m}
T_{\text{amb}}=25^\circ\mathrm{C},\quad h=8\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2\cdot ^\circ C)}
T_{\text{int\_superf}}=12^\circ\mathrm{C}\quad(\text{temperatura na superfície interna do duto})í
k_{\text{isol}}=0{,}028\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot ^\circ C)},\quad T_{\text{orvalho}}=19{,}3^\circ\mathrm{C}
Segurança pedida: 2^\circ\mathrm{C}. Logo a temperatura mínima exigida na superfície externa do isolamento é
T_{\text{req}}=T_{\text{orvalho}}+2^\circ\mathrm{C}=19{,}3+2=21{,}3^\circ\mathrm{C}.
Objetivo: determinar a espessura do isolante e_{\text{isol}} tal que a temperatura da superfície externa do isolamento seja no mínimo T_{\text{req}}=21{,}3^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Modelo físico e hipóteses (explicando didaticamente):
  • Consideramos regime permanente e transferência unidimensional através das camadas (alumínio fino + isolante) e convecção na superfície externa.
  • Como o enunciado não fornece geometria do duto (raio, comprimento), trabalhamos “por unidade de área” (isto é, resistência térmica por metro quadrado). Essa é uma abordagem comum e válida quando se quer a espessura do isolante independente da área base; o resultado dá a espessura necessária por qualquer área considerada.
  • Resistências térmicas em série: convecção na superfície externa (resistência R_{\text{conv}}=1/h), condução no isolante ( R_{\text{isol}}=e_{\text{isol}}/k_{\text{isol}}) e condução no alumínio ( R_{\text{al}}=e_{\text{al}}/k_{\text{al}}). A resistência total por unidade de área é
R_{\text{tot}}=R_{\text{conv}}+R_{\text{isol}}+R_{\text{al}}=\frac{1}{h}+\frac{e_{\text{isol}}}{k_{\text{isol}}}+\frac{e_{\text{al}}}{k_{\text{al}}}.
  • Fluxo de calor por unidade de área (magnitude) é dado por: diferença de temperatura entre ambiente e superfície interna dividida pela resistência total:
\dot q''=\frac{T_{\text{amb}}-T_{\text{int\_superf}}}{R_{\text{tot}}}.
  • A temperatura na superfície externa do isolamento T_{\text{surf\_ext}} está relacionada ao fluxo por
T_{\text{surf\_ext}}=T_{\text{amb}}-\dot q''\;R_{\text{conv}}.
Queremos T_{\text{surf\_ext}}\ge T_{\text{req}}. Para obter a espessura mínima tomamos igualdade T_{\text{surf\_ext}}=T_{\text{req}} e resolvemos para e_{\text{isol}}.

Passo 3

Montando a equação para e_{\text{isol}}. Substituindo \dot q'':
T_{\text{surf\_ext}}=T_{\text{amb}}-\frac{T_{\text{amb}}-T_{\text{int\_superf}}}{R_{\text{tot}}}\,R_{\text{conv}}.
Impondo T_{\text{surf\_ext}}=T_{\text{req}} e isolando R_{\text{tot}}:
T_{\text{amb}}-T_{\text{req}}=\frac{T_{\text{amb}}-T_{\text{int\_superf}}}{R_{\text{tot}}}\,R_{\text{conv}} \quad\Longrightarrow\quad R_{\text{tot}}=\frac{R_{\text{conv}}\,(T_{\text{amb}}-T_{\text{int\_superf}})}{T_{\text{amb}}-T_{\text{req}}}.
Agora substituímos R_{\text{conv}}=1/h e calculamos numericamente R_{\text{tot}}.

Passo 4

Cálculos numéricos passo a passo (explicando cada número):
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h}=\frac{1}{8}=0{,}125\\ \mathrm{h\cdot m^2\cdot ^\circ C/kcal}.
T_{\text{amb}}-T_{\text{int\_superf}}=25-12=13^\circ\mathrm{C}.
T_{\text{amb}}-T_{\text{req}}=25-21{,}3=3{,}7^\circ\mathrm{C}.
Logo
R_{\text{tot}}=\frac{0{,}125\cdot 13}{3{,}7}=\frac{1{,}625}{3{,}7}\approx 0{,}439189\\ \mathrm{h\cdot m^2\cdot ^\circ C/kcal}.

Passo 5

Encontrar a resistência do isolante e a espessura:
Calcule a resistência do alumínio (muito pequena, mas incluímos):
R_{\text{al}}=\frac{e_{\text{al}}}{k_{\text{al}}}=\frac{0{,}0005}{200}=2{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{h\cdot m^2\cdot ^\circ C/kcal}.
Então a resistência do isolante exigida é
R_{\text{isol}}=R_{\text{tot}}-R_{\text{conv}}-R_{\text{al}} =0{,}439189-0{,}125-2{,}5\times10^{-6}\approx 0{,}314187\\ \mathrm{h\cdot m^2\cdot ^\circ C/kcal}.
Como R_{\text{isol}}=e_{\text{isol}}/k_{\text{isol}}, temos
e_{\text{isol}}=k_{\text{isol}}\;R_{\text{isol}}=0{,}028\cdot 0{,}314187\approx 0{,}008796\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação prática e arredondamento:
e_{\text{isol}}\approx 0{,}008796\\ \mathrm{m}=8{,}796\\ \mathrm{mm}.
Arredondando para um valor comercial prático, pode-se adotar e_{\text{isol}}=8{,}8\\ \mathrm{mm} (ou, por segurança prática, escolher a lâmina mais próxima e ligeiramente maior).

Resposta

e_{\text{isol}}=0{,}00880\\ \mathrm{m} (aprox. 8{,}80\\ \mathrm{mm})

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