Uma barra de aço, com diâmetro \mathrm{D}=2 \mathrm{~cm}, comprimento \mathrm{L}=25 \mathrm{~cm} e condutividade térmica \mathrm{K}=50 \mathrm{W} /\left(\mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), está exposta ao ambiente a \mathrm{T}_{\infty}=20^{\circ} \mathrm{C} com coeficiente de transferência de calor \mathrm{h}=64 \mathrm{W} /\left(\mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C}\right). Se uma extremidade da barra for mantida à temperatura de 120^{\circ} \mathrm{C}, calcule a perda de calor na barra.

Passo 1

Dados fornecidos (vou listar tudo com clareza para a gente não se perder):
\mathrm{D}=2\\ \mathrm{cm}= 0,02\\ \mathrm{m}.
\mathrm{L}=25\\ \mathrm{cm}= 0,25\\ \mathrm{m}.
\mathrm{K}=50\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
\mathrm{T}_{\infty}=20^\circ\mathrm{C}.
\mathrm{h}=64\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
Uma extremidade da barra (base, x=0) é mantida em \mathrm{T}_b=120^\circ\mathrm{C}.
O problema pede: calcular a perda de calor na barra (potência térmica perdida, Q, em regime estacionário).

Passo 2

Decisão do método (resumida e explicada como se fôssemos resolver na prova).
A barra cilíndrica com uma extremidade a temperatura fixa e exposta ao ambiente por convecção ao longo da superfície lateral (e também na ponta) é tratada como uma “aleta” (fin) de seção constante submetida a convecção. A ideia física: calor conduz do fundo para fora, e é perdido por convecção ao longo da superfície e na ponta. Para esse caso existe uma solução analítica padrão que dá o fluxo de calor na base x=0. Vou usar essa formulação, porque é a forma mais direta e prática para provar e costuma cair em prova. Em sala você pode reconhecer isso como resolução da equação diferencial da condução unidimensional com termo de perda por convecção.

Passo 3

Definir as grandezas geométricas necessárias para a fórmula da aleta (para cilindro):
perímetro molhado P e área da seção transversal A_c:
P = \pi D,
A_c = \frac{\pi D^2}{4}.
Substituindo D= 0,02\\ \mathrm{m}:
P = \pi \cdot 0,02 = 0,02\pi\\ \mathrm{m},
A_c = \frac{\pi (0,02)^2}{4} = \pi \cdot 0,0001 = 0,0001\pi\\ \mathrm{m}^2.
(Nos cálculos numéricos abaixo vou usar valores numéricos aproximados.)

Passo 4

Explicar a constante m que aparece na equação da aleta e calculá-la.
A equação diferencial linear para a função de temperatura reduzida \theta(x)=T(x)-T_\infty leva ao parâmetro
m^2=\frac{hP}{kA_c}.
Interpretação: m tem dimensão de 1/\mathrm{m} e mede a relação entre perdas por convecção (numerador) e capacidade de condução (denominador). Substituindo P e A_c e os valores dados:
primeiro observe a relação útil
\frac{P}{A_c}=\frac{\pi D}{\pi D^2/4}=\frac{4}{D}.
Logo
m^2=\frac{hP}{kA_c}=\frac{h}{k}\cdot\frac{P}{A_c}=\frac{h}{k}\cdot\frac{4}{D}.
Substituindo h=64, k=50, D=0,02:
m^2=\frac{64}{50}\cdot\frac{4}{0,02}=1,28\cdot\frac{4}{0,02}=1,28\cdot 200=256.
Portanto
m=\sqrt{256}=16\\ \mathrm{m}^{-1}.

Passo 5

Apresentar a solução padrão e a expressão para a perda de calor na base (essa é a “fórmula de aleta” com ponta convectiva).
A solução geral da equação para \theta(x) é combinação de funções hiperbólicas; aplicando as condições de contorno (base com \theta(0)=\theta_b=T_b-T_\infty e ponta convectiva) chega-se à expressão do fluxo de calor total extraído pela aleta na base:
Q = \sqrt{hPkA_c}\,(T_b-T_\infty)\;\frac{\operatorname{sinh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}.
Aqui:
  • Q é a potência total perdida pela barra (W),
  • T_b é a temperatura da base ( x=0),
  • m foi definido antes,
  • k, h, P, A_c, L já definidos.
    Observação: a quantidade \sqrt{hPkA_c} é igual a m k A_c (veja abaixo), o que simplifica cálculo numérico.

Passo 6

Calcular termos intermediários necessários numericamente:
Primeiro o produto que aparece fora:
m k A_c = m\cdot k\cdot A_c.
Usando m=16\\ \mathrm{m}^{-1}, k=50, A_c=0,0001\pi:
m k A_c = 16\cdot 50\cdot 0,0001\pi = 800\cdot 0,0001\pi = 0,08\pi.
Numericamente \pi\approx 3,1415927, então
m k A_c \approx 0,08\cdot 3,1415927 \approx 0,251327\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C}.
Observação alternativa (idêntica): \sqrt{hPkA_c}=m k A_c, então esse é o prefactor multiplicando (T_b-T_\infty).
Calcule também mL e o quociente h/(m k):
mL = 16\cdot 0,25 = 4,
\frac{h}{m k}=\frac{64}{16\cdot 50}=\frac{64}{800}=0,08.

Passo 7

Calcular as funções hiperbólicas em mL=4. (Vou mostrar os valores aproximados que você pode calcular em prova com uma calculadora científica.)
\operatorname{sinh}(4)\approx 27,289917,
\operatorname{cosh}(4)\approx 27,308232.

Passo 8

Montar a fração hiperbólica da fórmula e calcular numericamente:
Numerador:
\operatorname{sinh}(mL)+\frac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL)=27,289917 + 0,08\cdot 27,308232 \approx 27,289917 + 2,1846586 \approx 29,474576.
Denominador:
\operatorname{cosh}(mL)+\frac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)=27,308232 + 0,08\cdot 27,289917 \approx 27,308232 + 2,1831934 \approx 29,491425.
Razão:
\frac{\text{numerador}}{\text{denominador}}\approx \frac{29,474576}{29,491425}\approx 0,999424.
Esse número próximo de 1 significa que a condição da ponta convectiva pouco altera o resultado (a ponta não faz muita diferença aqui).

Passo 9

Calcular Q final usando todos os termos:
Q = (m k A_c)\,(T_b-T_\infty)\cdot\text{razão}.ã
Substituindo m k A_c\approx 0,251327\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C}, (T_b-T_\infty)=120-20=100\\ ^\circ\mathrm{C} e a razão \approx 0,999424:
Q \approx 0,251327\cdot 100 \cdot 0,999424 \approx 25,1327\cdot 0,999424 \approx 25,12\\ \mathrm{W}.

Passo 10

Interpretação curta e encorajamento: a barra perde cerca de 25{,}1\\ \mathrm{W}. Note que sem a correção da ponta (ou assumindo ponta isolada) o valor muda muito pouco porque mL=4 faz a solução hiperbólica estabilizar — isso é algo que dá para observar em provas: quando mL é moderadamente grande, a aleta age quase como infinita e o fluxo tende a \sqrt{hPkA_c}(T_b-T_\infty).

Resposta

Q \approx 25{,}12\\ \mathrm{W}

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