Uma barra de aço, com diâmetro
, comprimento
e condutividade térmica
, está exposta ao ambiente a
com coeficiente de transferência de calor
. Se uma extremidade da barra for mantida à temperatura de
, calcule a perda de calor na barra.
Passo 1
Dados fornecidos (vou listar tudo com clareza para a gente não se perder):
.
.
.
.
.
Uma extremidade da barra (base, ) é mantida em
.
O problema pede: calcular a perda de calor na barra (potência térmica perdida, , em regime estacionário).
Uma extremidade da barra (base,
O problema pede: calcular a perda de calor na barra (potência térmica perdida,
Passo 2
Decisão do método (resumida e explicada como se fôssemos resolver na prova).
A barra cilíndrica com uma extremidade a temperatura fixa e exposta ao ambiente por convecção ao longo da superfície lateral (e também na ponta) é tratada como uma “aleta” (fin) de seção constante submetida a convecção. A ideia física: calor conduz do fundo para fora, e é perdido por convecção ao longo da superfície e na ponta. Para esse caso existe uma solução analítica padrão que dá o fluxo de calor na base . Vou usar essa formulação, porque é a forma mais direta e prática para provar e costuma cair em prova. Em sala você pode reconhecer isso como resolução da equação diferencial da condução unidimensional com termo de perda por convecção.
A barra cilíndrica com uma extremidade a temperatura fixa e exposta ao ambiente por convecção ao longo da superfície lateral (e também na ponta) é tratada como uma “aleta” (fin) de seção constante submetida a convecção. A ideia física: calor conduz do fundo para fora, e é perdido por convecção ao longo da superfície e na ponta. Para esse caso existe uma solução analítica padrão que dá o fluxo de calor na base
Passo 3
Definir as grandezas geométricas necessárias para a fórmula da aleta (para cilindro):
perímetro molhado e área da seção transversal
:
perímetro molhado
Substituindo
:
(Nos cálculos numéricos abaixo vou usar valores numéricos aproximados.)
Passo 4
Explicar a constante
que aparece na equação da aleta e calculá-la.
A equação diferencial linear para a função de temperatura reduzida leva ao parâmetro
A equação diferencial linear para a função de temperatura reduzida
Interpretação:
tem dimensão de
e mede a relação entre perdas por convecção (numerador) e capacidade de condução (denominador). Substituindo
e
e os valores dados:
primeiro observe a relação útil
primeiro observe a relação útil
Logo
Substituindo
,
,
:
Portanto
Passo 5
Apresentar a solução padrão e a expressão para a perda de calor na base (essa é a “fórmula de aleta” com ponta convectiva).
A solução geral da equação para é combinação de funções hiperbólicas; aplicando as condições de contorno (base com
e ponta convectiva) chega-se à expressão do fluxo de calor total extraído pela aleta na base:
A solução geral da equação para
Aqui:
-
é a potência total perdida pela barra (W), -
é a temperatura da base ( ), -
foi definido antes, -
, , , , já definidos.
Observação: a quantidadeé igual a (veja abaixo), o que simplifica cálculo numérico.
Passo 6
Calcular termos intermediários necessários numericamente:
Primeiro o produto que aparece fora:
Primeiro o produto que aparece fora:
Usando
,
,
:
Numericamente
, então
Observação alternativa (idêntica):
, então esse é o prefactor multiplicando
.
Calcule também
e o quociente
:
Passo 7
Calcular as funções hiperbólicas em
. (Vou mostrar os valores aproximados que você pode calcular em prova com uma calculadora científica.)
Passo 8
Montar a fração hiperbólica da fórmula e calcular numericamente:
Numerador:
Numerador:
Denominador:
Razão:
Esse número próximo de 1 significa que a condição da ponta convectiva pouco altera o resultado (a ponta não faz muita diferença aqui).
Passo 9
Calcular
final usando todos os termos:
Substituindo
,
e a razão
:
Passo 10
Interpretação curta e encorajamento: a barra perde cerca de
. Note que sem a correção da ponta (ou assumindo ponta isolada) o valor muda muito pouco porque
faz a solução hiperbólica estabilizar — isso é algo que dá para observar em provas: quando
é moderadamente grande, a aleta age quase como infinita e o fluxo tende a
.