Suponha um tanque de 20 \mathrm{~m}^{3} de capacidade total que contenha inicialmente 8 \mathrm{~m}^{3} de uma solução composta dos solutos A e B com concentrações iguais a 90 \mathrm{~g} / \mathrm{L} de A e 60 \mathrm{~g} / \mathrm{L} de B. Num instante t=0, inicia-se a alimentação de uma solução de A com concentração de 40 \mathrm{~g} / \mathrm{L} à vazão de 1,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. Considerando mistura perfeita e massas específicas constantes e iguais em todas as correntes, obtenha as concentrações de A e B no tanque após 6 horas de alimentação.

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar as concentrações de A e B no tanque após 6 horas de alimentação.
Dados fornecidos:
  • Capacidade total do tanque: 20\\ \mathrm{m}^{3} (informação apenas para verificar que não transborda).
  • Volume inicial no tanque: 8\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Concentração inicial de A: 90\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
  • Concentração inicial de B: 60\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
  • A partir de t=0 entra uma solução contendo apenas A com concentração 40\\ \mathrm{g}/\mathrm{L} à vazão 1,5\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}.
  • Tempo de alimentação: 6\\ \mathrm{h}.
    Observações implícitas (tiradas do enunciado): não foi mencionada vazão de saída, logo assumimos que não há saída; a mistura é perfeita e as massas específicas são constantes (portanto volumes simplesmente somam).

Passo 2

Entendendo a estratégia (curtinha e prática): vamos trabalhar com massas (quantidade de soluto em gramas) e volumes (em litros ou metros cúbicos). A concentração é sempre massa/volume. Como só entra solução contendo A (sem B) e não há saída, a massa de B permanece constante; a massa de A aumenta pelo aporte da alimentação. Para converter entre unidades: 1\\ \mathrm{m}^{3}=1000\\ \mathrm{L}. Vou calcular massas iniciais em gramas, a massa que entra de A por hora, somar durante 6 horas, e dividir pelo volume final para obter as concentrações em \mathrm{g}/\mathrm{L}.

Passo 3

Calcular as massas iniciais (conversão m³ → L e depois g):
  • Volume inicial em litros: 8\\ \mathrm{m}^{3}=8\cdot 1000=8000\\ \mathrm{L}.
  • Massa inicial de A:
\text{massa\_A\_inicial}=90\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{L}}\times 8000\\ \mathrm{L}.
Calculemos:
\text{massa\_A\_inicial}=90\times 8000=720000\\ \mathrm{g}.
  • Massa inicial de B:
\text{massa\_B\_inicial}=60\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{L}}\times 8000\\ \mathrm{L}.
Calculemos:
\text{massa\_B\_inicial}=60\times 8000=480000\\ \mathrm{g}.

Passo 4

Calcular a taxa de entrada de massa de A (em \mathrm{g}/\mathrm{h}):
  • Vazão de entrada: 1,5\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}=1{,}5\cdot 1000=1500\\ \mathrm{L}/\mathrm{h}.
  • Concentração da alimentação: 40\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
    Logo a massa de A que entra por hora é
\dot{m}_A = 40\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{L}}\times 1500\\ \mathrm{L}/\mathrm{h}.
Calculemos:
\dot{m}_A = 40\times 1500=60000\\ \mathrm{g}/\mathrm{h}.

Passo 5

Calcular a massa de A que entrou em 6 horas e a massa final de A:
  • Massa de A adicionada em 6\\ \mathrm{h}:
\Delta m_A = \dot{m}_A \times 6 = 60000\\ \mathrm{g}/\mathrm{h}\times 6\\ \mathrm{h}.
\Delta m_A = 360000\\ \mathrm{g}.
  • Massa final de A:
\text{massa\_A\_final}=\text{massa\_A\_inicial}+\Delta m_A = 720000+360000=1080000\\ \mathrm{g}.
  • Observação sobre B: não entra B na alimentação e não há saída, portanto
\text{massa\_B\_final}=\text{massa\_B\_inicial}=480000\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Calcular o volume final do tanque após 6 horas:
  • Volume adicionado: 1{,}5\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}\times 6\\ \mathrm{h}=9\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Volume final:
V_{\text{final}}=8\\ \mathrm{m}^{3}+9\\ \mathrm{m}^{3}=17\\ \mathrm{m}^{3}.
Em litros:
V_{\text{final}}=17\cdot 1000=17000\\ \mathrm{L}.

Passo 7

Calcular as concentrações finais (massa/volume) em \mathrm{g}/\mathrm{L}:
  • Concentração final de A:
C_{A,\text{final}}=\frac{\text{massa\_A\_final}}{V_{\text{final}}}=\frac{1080000\\ \mathrm{g}}{17000\\ \mathrm{L}}.
Façamos a divisão:
C_{A,\text{final}} \approx 63{,}52941176\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
C_{A,\text{final}}\approx 63{,}53\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
  • Concentração final de B:
C_{B,\text{final}}=\frac{\text{massa\_B\_final}}{V_{\text{final}}}=\frac{480000\\ \mathrm{g}}{17000\\ \mathrm{L}}.
Façamos a divisão:
C_{B,\text{final}} \approx 28{,}23529412\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
Arredondando:
C_{B,\text{final}}\approx 28{,}24\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.

Resposta

C_{A,\text{final}}\approx 63{,}53\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
C_{B,\text{final}}\approx 28{,}24\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}

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